《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

1.(1)[探究发现]如图①,在$\triangle ABC$中,$AD是BC$边上的中线. 求证:$AB + AC＞2AD$.
(2)[初步应用]在(1)的条件下,若$AB = 16$,$AC = 12$,则$AD$的取值范围为2＜AD＜14.
(3)[拓展提升]如图②,$\angle BAC= \angle BCA$,$AD为\triangle ABC中BC$边上的中线,延长$BC至点E$,使$CE = AB$,连接$AE$.
求证:$\angle CAD= \angle CAE$.

答案： 1.
(1)略.
(2)2＜AD＜14
(3)略.

2.如图,$AB = AE$,$AB\perp AE$,$AD = AC$,$AD\perp AC$,$M为BC$的中点. 求证:$DE = 2AM$.

答案：
2.证明:如图，延长AM至N，使MN=AM,连接BN.
∵点M为BC的中点，
∴CM=BM.
又
∵∠AMC=∠NMB,
∴△AMC≌△NMB(SAS).
∴AC=BN,∠C=∠NBM.
∵AD=AC,
∴AD=BN.
∵AB⊥AE,AD⊥AC,
∴∠EAB=∠DAC=90°.
∴∠EAD+∠BAC=180°.
∴∠ABN=∠ABC+∠C=180°−∠BAC=∠EAD.
又
∵AE=BA,
∴△ABN≌△EAD(SAS).
∴DE=AN=2AM;

3.[2025 北京海淀区月考]如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$BD平分\angle ABC$,交$AC于点D$,$CE\perp BD交BD的延长线于点E$. 求证:$CE= \frac{1}{2}BD$.

答案： 证明：延长BA、CE交于点F。
∵∠BAC=90°，CE⊥BD，
∴∠BAC=∠DEC=90°。
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠DCE。
在△ABD和△ACF中，
∠ABD=∠ACF，
AB=AC，
∠BAD=∠CAF=90°，
∴△ABD≌△ACF（ASA）。
∴BD=CF。
∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，
∴∠FBE=∠CBE，∠BEF=∠BEC=90°。
在△BEF和△BEC中，
∠FBE=∠CBE，
BE=BE，
∠BEF=∠BEC，
∴△BEF≌△BEC（ASA）。
∴CE=EF。
∴CE=1/2CF。
∵BD=CF，
∴CE=1/2BD。