《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

8.(2024·临夏州)如图，直线l与$\odot O$相切于点D，AB为$\odot O$的直径，过点A作$AE⊥l$于点E，延长AB交直线l于点C.
(1)求证：AD平分$∠CAE$；
(2)若$BC=1$，$DC=3$，求$\odot O$的半径.

答案： 【解析】：
(1) 连接 $OD$。
因为直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切于点 $D$，所以 $OD\perp l$。
又因为 $AE\perp l$，所以 $OD// AE$。
则 $\angle ODA=\angle DAE$。
因为 $OA = OD$，所以 $\angle OAD=\angle ODA$。
所以 $\angle OAD=\angle DAE$，即 $AD$ 平分 $\angle CAE$。
(2) 设 $\odot O$ 的半径为 $r$，则 $OD = r$，$OC=r + 1$。
在 $Rt\triangle OCD$ 中，根据勾股定理 $OD^{2}+DC^{2}=OC^{2}$。
即 $r^{2}+3^{2}=(r + 1)^{2}$。
展开得 $r^{2}+9=r^{2}+2r + 1$。
移项可得 $2r=9 - 1$，$2r=8$，解得 $r = 4$。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析；
(2) $4$ 。

9.(2024·包头)如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，点O在四边形ABCD的内部，过点C作$\odot O$的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB.若$∠AOB=140^{\circ }$，$∠BCP=35^{\circ }$，则$∠ADC$的度数为$105^{\circ}$.

答案： $105^{\circ}$

10.(2024·合肥期末改编)如图，$\odot O$与边长为4cm的正方形ABCD的边CD相切，且A，B两点都在$\odot O$上，则$\odot O$的半径为$\frac{5}{2}cm$.

答案： $\frac{5}{2}cm$

11.如图，AB为$\odot O$的直径，过圆上一点D作$\odot O$的切线CD交BA的延长线于点C，连接AD，过点O作$OE// AD$交CD的延长线于点E，连接BE.
(1)直线BE与$\odot O$相切吗？请说明理由.
(2)若$CA=2$，$CD=4$，求DE的长.

答案： 【解析】：
### $(1)$判断直线$BE$与$\odot O$是否相切
连接$OD$。
因为$CD$是$\odot O$的切线，所以$OD\perp CD$，即$\angle ODE = 90^{\circ}$。
由于$OE// AD$，所以$\angle DAO=\angle EOB$，$\angle ADO = \angle DOE$。
又因为$OA = OD$，所以$\angle DAO=\angle ADO$，进而$\angle DOE=\angle EOB$。
在$\triangle ODE$和$\triangle OBE$中，$\left\{\begin{array}{l}OD = OB\\\angle DOE=\angle EOB\\OE = OE\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ODE\cong\triangle OBE$。
所以$\angle OBE=\angle ODE = 90^{\circ}$，即$OB\perp BE$。
因为$OB$是$\odot O$的半径，所以直线$BE$与$\odot O$相切。
### $(2)$求$DE$的长
设$\odot O$的半径为$r$。
在$Rt\triangle CDO$中，根据勾股定理$CD^{2}+OD^{2}=CO^{2}$，已知$CA = 2$，$CD = 4$，$CO=r + 2$，$OD = r$，则$4^{2}+r^{2}=(r + 2)^{2}$。
展开$(r + 2)^{2}$得$r^{2}+4r + 4$，即$16+r^{2}=r^{2}+4r + 4$。
移项可得$4r=16 - 4$，解得$r = 3$，所以$CO=CA+AO=2 + 3=5$，$OB = 3$。
由$\triangle ODE\cong\triangle OBE$可知$DE = BE$。
在$Rt\triangle CBE$中，设$DE = BE=x$，则$CE=CD + DE=4 + x$。
根据勾股定理$CE^{2}=CB^{2}+BE^{2}$，$CB=CA + AB=2+6 = 8$，所以$(4 + x)^{2}=8^{2}+x^{2}$。
展开$(4 + x)^{2}$得$16+8x+x^{2}$，即$16+8x+x^{2}=64+x^{2}$。
移项可得$8x=64 - 16$，解得$x = 6$，即$DE = 6$。
【答案】：
$(1)$直线$BE$与$\odot O$相切，理由见上述解析；$(2)$$\boldsymbol{6}$

12.(2024·凉山州)如图，$\odot M$的圆心为$M(4,0)$，半径为2，P是直线$y=x+4$上的一个动点，过点P作$\odot M$的切线，切点为Q，则PQ的最小值为$2\sqrt{7}$.

答案： $2\sqrt{7}$