《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如图，直线 $ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，抛物线 $ y = a(x - 1)^2 - 2 $ 过点 $ A $。
(1) 求抛物线对应的函数解析式；
(2) 抛物线上的动点 $ D $ 在一次函数的图象的下方，连接 $ AD $，$ CD $，求 $ \triangle ACD $ 的面积的最大值，并求出此时点 $ D $ 的坐标。

答案： 解：
(1) $ y = \frac{1}{2}x^{2} - x - \frac{3}{2} $
(2) 过点 $ D $ 作 $ DM // y $ 轴交 $ AC $ 于点 $ M $ (图略)。
设 $ D\left(m, \frac{1}{2}m^{2} - m - \frac{3}{2}\right) $，则 $ M\left(m, \frac{1}{2}m + \frac{1}{2}\right) $，
则 $ DM = \frac{1}{2}m + \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}m^{2} - m - \frac{3}{2}\right) = -\frac{1}{2}m^{2} + \frac{3}{2}m + 2 $。
分两种情况讨论：
① 当 $ -1 ＜ m \leq 0 $ 时，$ S_{\triangle ACD} = S_{\triangle AMD} + S_{\triangle CMD} = \frac{1}{2}DM(m + 1 - m) = \frac{1}{2}DM $；
② 当 $ 0 ＜ m ＜ 4 $ 时，$ S_{\triangle ACD} = S_{\triangle AMD} - S_{\triangle CMD} = \frac{1}{2}DM(m + 1 - m) = \frac{1}{2}DM $。
综上，$ S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}DM = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}m^{2} + \frac{3}{2}m + 2\right) = -\frac{1}{4}\left(m - \frac{3}{2}\right)^{2} + \frac{25}{16} $。
$ \because -\frac{1}{4} ＜ 0 $，$ \therefore $ 当 $ m = \frac{3}{2} $ 时，$ \triangle ACD $ 的面积有最大值，最大值是 $ \frac{25}{16} $，此时点 $ D $ 的坐标是 $ \left(\frac{3}{2}, -\frac{15}{8}\right) $。

2. (2025·阜阳月考) 如图，抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 + mx + n $ 与 $ x $ 轴相交于 $ B $，$ C $ 两点 (点 $ B $ 在点 $ C $ 的左边)，与 $ y $ 轴相交于点 $ A $，直线 $ AC $ 对应的函数解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x + 2 $。
(1) 求点 $ A $，$ C $ 的坐标；
(2) 求抛物线对应的函数解析式；
(3) 在直线 $ AC $ 的上方的抛物线上有一点 $ M $，求四边形 $ ABCM $ 的面积的最大值及此时点 $ M $ 的坐标。

答案：
(1) $ A(0, 2) $，$ C(4, 0) $
(2) $ y = -\frac{1}{4}x^{2} + \frac{1}{2}x + 2 $
(3) 当 $ t = 2 $ 时，四边形 $ ABCM $ 的面积有最大值，最大值为 8，此时点 $ M $ 的坐标为 $ (2, 2) $