《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1.下列结论正确的是 (A)
A.经过圆心的直线是圆的对称轴
B.直径是圆的对称轴
C.与圆相交的直线是圆的对称轴
D.与直径相交的直线是圆的对称轴

答案： A

2.(2024·长沙)如图,在$\odot O$中,弦AB的长为8,圆心O到AB的距离$OE=4$,则$\odot O$的半径为 (B)

A.4
B.$4\sqrt {2}$
C.5
D.$5\sqrt {2}$

答案： B

3.(教材P83练习T1变式)如图,AB是$\odot O$的直径,弦$CD⊥AB$于点E.若$AB=10,CD=6$,则OE的长为 (B)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： B

4.如图,OA,OB,OC都是$\odot O$的半径,AC,OB交于点D.若$AD=CD=8,OD=6$,则BD的长为 (B)
A.5
B.4
C.3
D.2

答案： B

[变式]在第4题中,若将“$OD=6$”改为“$OD:BD=2:1$”,则BD的长为$\frac {8\sqrt {5}}{5}$.

答案： $\frac {8\sqrt {5}}{5}$ 

5.如图,将半径为2 cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为$2\sqrt{3}$cm.

答案： $2\sqrt{3}$

6.(教材P90习题T9变式)如图,两个圆都以点O为圆心,大圆的半径为5,大圆的弦AB与小圆交于点C,D,已知$AB=8,CD=3.$
(1)求AC的长;
(2)求小圆的半径.

答案： 【解析】：
(1)过点$O$作$OE\perp AB$于点$E$，连接$OA$，$OC$。
根据垂径定理，$AE = BE=\frac{1}{2}AB$，因为$AB = 8$，所以$AE=\frac{1}{2}\times8 = 4$。
又因为$OE\perp CD$，所以$CE = DE=\frac{1}{2}CD$，已知$CD = 3$，则$CE=\frac{1}{2}\times3=\frac{3}{2}$。
那么$AC=AE - CE=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。
(2)在$Rt\triangle OAE$中，$OA = 5$，$AE = 4$，根据勾股定理$OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25 - 16}=3$。
在$Rt\triangle OCE$中，$CE=\frac{3}{2}$，$OE = 3$，再根据勾股定理$OC=\sqrt{OE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{3^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}=\sqrt{9+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{36 + 9}{4}}=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】：
(1)$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$；
(2)$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$。

7.如图,$\odot O$的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,$AE=2,CD=8.$
(1)求$\odot O$的半径;
(2)连接BC,作$OF⊥BC$于点F,求OF的长.

答案： 【解析】：
### $(1)$求$\odot O$的半径
连接$OC$，因为$AB$是$\odot O$的直径，$AB\perp CD$，$CD = 8$，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”，可得$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\times8 = 4$。
设$\odot O$的半径为$r$，已知$AE = 2$，则$OC=r$，$OE=r - 2$。
在$Rt\triangle OCE$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$OC^{2}=CE^{2}+OE^{2}$，即$r^{2}=4^{2}+(r - 2)^{2}$。
展开$(r - 2)^{2}$得$r^{2}=16+r^{2}-4r + 4$。
移项可得$4r=16 + 4$，即$4r=20$，解得$r = 5$。
### $(2)$求$OF$的长
在$Rt\triangle BCE$中，$CE = 4$，$BE=AB - AE=2r - AE=10 - 2 = 8$，根据勾股定理可得$BC=\sqrt{CE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=\sqrt{16 + 64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
因为$OF\perp BC$，根据垂径定理可知$F$为$BC$中点，又因为$O$为$AB$中点，所以$OF$是$\triangle ABC$的中位线。
根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，可得$OF=\frac{1}{2}AC$。
在$Rt\triangle ACE$中，$AE = 2$，$CE = 4$，根据勾股定理可得$AC=\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
所以$OF=\frac{1}{2}AC=\sqrt{5}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{5}$；$(2)$$\boldsymbol{\sqrt{5}}$

8.(2024·凉山州)在数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径,小明的解决方案是在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交$\widehat {AB}$于点C,测出$AB=40cm,CD=10cm$,则圆形工件的半径为 (C)
A.50 cm
B.35 cm
C.25 cm
D.20 cm

答案： C