《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1.二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象经过点$(-5,0),(3,0)$，则关于x的方程$ax^{2}+bx+c=0$的根是（D）
A.$x_{1}=0,x_{2}=3$
B.$x_{1}=-5,x_{2}=0$
C.$x_{1}=5,x_{2}=-3$
D.$x_{1}=-5,x_{2}=3$

答案： D

2.如图，已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与x轴的一个交点为$A(1,0)$，对称轴是$x=-1$，则方程$ax^{2}+bx+c=0$的根是（A）

A.$x_{1}=-3,x_{2}=1$
B.$x_{1}=3,x_{2}=1$
C.$x=-3$
D.$x=-2$

答案： A

3.【一题多问】已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）方程$ax^{2}+bx+c=0$的根是$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$；
（2）方程$ax^{2}+bx+c=5$的根是$x_{1}=-2$，$x_{2}=4$；
（3）方程$ax^{2}+bx+c=-4$的根是$x_{1}=x_{2}=1$；
（4）方程$ax^{2}+bx+c=-6$的根的情况是无实数根；
（5）方程$ax^{2}+bx+c=t$有实数根，则t的取值范围是$t\geqslant - 3$.

答案： （1）$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$
（2）$x_{1}=-2$，$x_{2}=4$
（3）$x_{1}=x_{2}=1$
（4）无实数根
（5）$t\geqslant - 3$

4.已知抛物线$y=x^{2}-6x+m$与x轴有且只有一个交点，则$m=$9.

答案： $9$；

[变式1]（2024·长春）若抛物线$y=x^{2}-x+c$（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是________.

答案：
$c\gt\frac{1}{4}$；

[变式2]（2024·宁夏）若二次函数$y=2x^{2}-x+m$的图象与x轴有交点，则m的取值范围是________.

答案：
m⩽81​

5.（2025·阜阳期中）已知二次函数$y=-x^{2}-(m-1)x+m+1$.
（1）求证：不论m取何值，该函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）若该函数图象的对称轴是$x=2$，求该函数的图象与y轴的交点坐标.

答案： 【解析】：
（1）对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象与$x$轴有两个交点。
在二次函数$y=-x^{2}-(m - 1)x + m + 1$中，$a=-1$，$b=-(m - 1)$，$c=m + 1$，则$\Delta=b^{2}-4ac=[-(m - 1)]^{2}-4\times(-1)\times(m + 1)$
$=(m - 1)^{2}+4(m + 1)$
$=m^{2}-2m + 1+4m + 4$
$=m^{2}+2m + 5$
$=m^{2}+2m + 1+4$
$=(m + 1)^{2}+4$。
因为$(m + 1)^{2}\geqslant0$，所以$(m + 1)^{2}+4＞0$，即$\Delta＞0$。
所以不论$m$取何值，该函数的图象与$x$轴总有两个交点。
（2）对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
已知二次函数$y=-x^{2}-(m - 1)x + m + 1$，$a=-1$，$b=-(m - 1)$，且对称轴是$x = 2$，根据对称轴公式可得：
$-\frac{-(m - 1)}{2\times(-1)}=2$
$\frac{m - 1}{-2}=2$
$m - 1=-4$
$m=-3$。
所以二次函数的解析式为$y=-x^{2}-(-3 - 1)x+(-3 + 1)$，即$y=-x^{2}+4x - 2$。
求函数图象与$y$轴的交点坐标，令$x = 0$，则$y=-0^{2}+4\times0 - 2=-2$。
所以该函数的图象与$y$轴的交点坐标为$(0,-2)$。
【答案】：（1）证明过程见解析；（2）$(0,-2)$

6.二次函数$y=x^{2}+3x-5$的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
|x|…|1|1.1|1.2|1.3|1.4|…|
|----|----|----|----|----|----|----|----|
|y|…|-1|-0.49|0.04|0.59|1.16|…|
方程$x^{2}+3x-5=0$的一个近似根是（C）
A.1
B.1.1
C.1.2
D.1.3

答案： C

7.若二次函数$y=x^{2}-3x-4$的图象如图所示，则方程$x^{2}-3x-4=0$的解是$x_{1}=-1$，$x_{2}=4$；不等式$x^{2}-3x-4＞0$的解集是$x\lt - 1$或$x\gt4$；不等式$x^{2}-3x-4＜0$的解集是$-1\lt x\lt4$.

答案： $x_{1}=-1$，$x_{2}=4$；$x\lt - 1$或$x\gt4$；$-1\lt x\lt4$