《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1.若$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-6x-7=0$的两个根,则（A）
A.$x_{1}+x_{2}=6$
B.$x_{1}+x_{2}=-6$
C.$x_{1}x_{2}=\frac {7}{6}$
D.$x_{1}x_{2}=7$

答案： A

2.已知方程$x^{2}+6x=3$的两个根分别为$x_{1}$和$x_{2}$,则$x_{1}x_{2}$的值是-3.

答案： $-3$

3.已知一元二次方程$x^{2}+4x-1=0$的两个根分别为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}$的值是$-5$.

答案： $-5$

4.(教材 P16 练习变式)不解方程,求下列方程两个根$x_{1},x_{2}$的和与积:
(1)$x^{2}+4x-6=0;$
(2)$3x^{2}-5x-1=0;$
(3)$4x(x-2)=3x-6;$
(4)$3x^{2}-x+3=5x+2.$

答案： 【解析】：本题可根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）来求解方程两根的和与积。对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
**（1）对于方程$x^{2}+4x - 6 = 0$：**
在方程$x^{2}+4x - 6 = 0$中，$a = 1$，$b = 4$，$c = - 6$。
根据韦达定理可得$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{1}=-4$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-6}{1}=-6$。
**（2）对于方程$3x^{2}-5x - 1 = 0$：**
在方程$3x^{2}-5x - 1 = 0$中，$a = 3$，$b = - 5$，$c = - 1$。
根据韦达定理可得$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{3}=\frac{5}{3}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$。
**（3）先将方程$4x(x - 2)=3x - 6$化为一般形式：**
对$4x(x - 2)=3x - 6$进行化简：
$\begin{aligned}4x(x - 2)&=3x - 6\\4x^{2}-8x&=3x - 6\\4x^{2}-8x - 3x + 6&=0\\4x^{2}-11x + 6&=0\end{aligned}$
在方程$4x^{2}-11x + 6 = 0$中，$a = 4$，$b = - 11$，$c = 6$。
根据韦达定理可得$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-11}{4}=\frac{11}{4}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$。
**（4）先将方程$3x^{2}-x + 3 = 5x + 2$化为一般形式：**
对$3x^{2}-x + 3 = 5x + 2$进行化简：
$\begin{aligned}3x^{2}-x + 3&=5x + 2\\3x^{2}-x - 5x + 3 - 2&=0\\3x^{2}-6x + 1&=0\end{aligned}$
在方程$3x^{2}-6x + 1 = 0$中，$a = 3$，$b = - 6$，$c = 1$。
根据韦达定理可得$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{3}=2$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$。
【答案】：（1）$x_{1}+x_{2}=-4$，$x_{1}x_{2}=-6$；（2）$x_{1}+x_{2}=\frac{5}{3}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{1}{3}$；（3）$x_{1}+x_{2}=\frac{11}{4}$，$x_{1}x_{2}=\frac{3}{2}$；（4）$x_{1}+x_{2}=2$，$x_{1}x_{2}=\frac{1}{3}$

5.在下列方程中,以3,-4为根的一元二次方程是（B）
A.$x^{2}-x-12=0$
B.$x^{2}+x-12=0$
C.$x^{2}-x+12=0$
D.$x^{2}+x+12=0$

答案： B

6.(2024·宿州埇桥区二模)若m,n是一元二次方程$x^{2}-6x-1=0$的两个根,则$m^{2}n+mn^{2}$的值是（C）
A.-1
B.-5
C.-6
D.6

答案： C

7.(2024·巴中)已知方程$x^{2}-2x+k=0$的一个根为-2,则方程的另一个根为4.

答案： $4$

8.若关于x的一元二次方程$x^{2}+(k-2)x-1=0$的两实数根互为相反数,则k的值为2.

答案： $2$

9.设$x_{1},x_{2}$是方程$2x^{2}+4x-1=0$的两个根,不解方程,求下列各式的值:
(1)$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}};$
(2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2};$
(3)$(x_{1}-1)(x_{2}-1).$

答案： 【解析】：
本题可根据韦达定理，先求出$x_{1}+x_{2}$与$x_{1}x_{2}$的值，再将所求式子变形为含有$x_{1}+x_{2}$与$x_{1}x_{2}$的形式，最后代入求值。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，根据韦达定理可知$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
已知$x_{1}$，$x_{2}$是方程$2x^{2}+4x - 1 = 0$的两个根，其中$a = 2$，$b = 4$，$c = -1$，则可得：
$x_{1}+x_{2}=-\frac{4}{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
- **（1）求$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$的值：**
对$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$进行通分可得：$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}}{x_{1}x_{2}}+\frac{x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$。
将$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=-\frac{1}{2}$代入上式可得：$\frac{-2}{-\frac{1}{2}} = 4$。
- **（2）求$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$的值：**
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$。
将$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=-\frac{1}{2}$代入上式可得：$(-2)^{2}-2\times(-\frac{1}{2}) = 4 + 1 = 5$。
- **（3）求$(x_{1}-1)(x_{2}-1)$的值：**
根据多项式乘法法则将$(x_{1}-1)(x_{2}-1)$展开可得：$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}+1=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1$。
将$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=-\frac{1}{2}$代入上式可得：$-\frac{1}{2}-(-2)+1=-\frac{1}{2}+2 + 1=\frac{5}{2}$。
【答案】：（1）$4$；（2）$5$；（3）$\frac{5}{2}$