《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

12. 若抛物线$y = a x ^ { 2 } - a - 2$的顶点在$x$轴的下方且抛物线与$x$轴不相交,则$a$的取值范围是$-2\lt a\lt0$.

答案： $-2\lt a\lt0$

13. 对于二次函数$y = a x ^ { 2 } + c$,当$x$取$x _ { 1 }$,$x _ { 2 } ( x _ { 1 } \neq x _ { 2 } )$时,函数值相等,则当$x$取$x _ { 1 } + x _ { 2 }$时,函数值为$c$.

答案： $c$

[变式1]若直线$y = 1$与抛物线$y = a x ^ { 2 } + b$交于$A$,$B$两点,且点$A$的坐标为$( - 2, c )$,则点$B$的坐标为$(2,1)$.

答案： $(2,1)$

[变式2]已知二次函数$y = a x ^ { 2 } + c ( a ＞ 0 )$的图象上有纵坐标分别为$y _ { 1 }$,$y _ { 2 }$的$A$,$B$两点.如果点$A$,$B$到对称轴的距离分别为2,3,那么$y _ { 1 }$____$y _ { 2 }$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)

答案： $＜$

14. 如图,已知二次函数$y = a x ^ { 2 } + b$的图象的顶点为$P ( 0, 4 )$,且与$x$轴交于点$A$,$B$,$AB = 4$.
(1)求该二次函数的解析式;$y=-x^{2}+4$
(2)若该二次函数的图象沿$y$轴向上平移$k$个单位长度后经过点$( 1, 8 )$,求$k$的值,并写出该函数的两条性质.$5$；性质：图象开口向下；对称轴为$y$轴（答案不唯一）

答案： 【解析】：
### $(1)$求二次函数的解析式
已知二次函数$y = ax^{2}+b$的图象的顶点为$P(0,4)$，根据二次函数顶点式$y=a(x - h)^{2}+k$（顶点坐标为$(h,k)$），可得$h = 0$，$k = 4$，所以$b = 4$，则二次函数解析式为$y=ax^{2}+4$。
因为$AB = 4$，由二次函数图象的对称性可知$OA=OB=\frac{1}{2}AB = 2$，所以$B$点坐标为$(2,0)$。
把$B(2,0)$代入$y = ax^{2}+4$中，可得$0=a\times2^{2}+4$，即$4a+4 = 0$，
移项得$4a=-4$，解得$a=-1$。
所以该二次函数的解析式为$y=-x^{2}+4$。
### $(2)$求$k$的值并写出函数性质
**步骤一：求$k$的值**
二次函数$y=-x^{2}+4$的图象沿$y$轴向上平移$k$个单位长度后，根据函数图象平移规律“上加下减”，得到的函数解析式为$y=-x^{2}+4 + k$。
因为平移后的函数图象经过点$(1,8)$，把$(1,8)$代入$y=-x^{2}+4 + k$中，可得$8=-1^{2}+4 + k$，
即$8=-1 + 4 + k$，
移项得$k=8+1 - 4$，解得$k = 5$。
**步骤二：写出函数性质**
平移后的函数解析式为$y=-x^{2}+9$。
性质一：图象开口向下（因为二次项系数$-1\lt0$）。
性质二：对称轴为$y$轴（对于二次函数$y = ax^{2}+c$，对称轴为$x = 0$，即$y$轴）。
性质三：当$x = 0$时，函数有最大值$9$（因为图象开口向下）。
【答案】：
$(1)$ $y=-x^{2}+4$；
$(2)$ $k = 5$；性质：图象开口向下；对称轴为$y$轴（答案不唯一）。

15. 已知抛物线$y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 1$具有如下性质:抛物线上任意一点到定点$F ( 0, 2 )$的距离与到$x$轴的距离相等.如图,点$M$的坐标为$( \sqrt { 3 }, 3 )$,$P$为抛物线$y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 1$上的一个动点,连接$PF$,$PM$,$FM$,$OP$.
(1)当$\triangle POF$的面积为4时,求点$P$的坐标;
(2)求$\triangle PMF$周长的最小值.

答案： 【解析】：
### $(1)$求点$P$的坐标
设点$P$的坐标为$(x,y)$。
已知$F(0,2)$，则$OF = 2$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a = OF$，$h=\vert x\vert$），由${S}_{\triangle POF}=4$可得：
$\frac{1}{2}\times OF\times\vert x\vert = 4$，把$OF = 2$代入得$\frac{1}{2}\times2\times\vert x\vert = 4$，解得$\vert x\vert = 4$，即$x=\pm4$。
因为点$P(x,y)$在抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}+1$上，
当$x = 4$时，$y=\frac{1}{4}\times4^{2}+1=4 + 1=5$；
当$x=-4$时，$y=\frac{1}{4}\times(-4)^{2}+1=4 + 1=5$。
所以点$P$的坐标为$(4,5)$或$(-4,5)$。
### $(2)$求$\triangle PMF$周长的最小值
由抛物线性质知$PF$等于点$P$到$x$轴的距离。
$\triangle PMF$的周长$C = PF+PM+FM$，因为$FM=\sqrt{(\sqrt{3}-0)^{2}+(3 - 2)^{2}}=\sqrt{3 + 1}=2$（根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$）。
$PF$为点$P$到$x$轴距离，当$PM$垂直$x$轴时，$PM + PF$最小，此时$P$点横坐标为$\sqrt{3}$。
把$x = \sqrt{3}$代入$y=\frac{1}{4}x^{2}+1$得$y=\frac{1}{4}\times(\sqrt{3})^{2}+1=\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}$，则$PM=3-\frac{7}{4}=\frac{5}{4}$，$PF=\frac{7}{4}$。
所以$\triangle PMF$周长的最小值为$2+\frac{5}{4}+\frac{7}{4}=2 + 3=5$。
【答案】：
$(1)$点$P$的坐标为$\boldsymbol{(4,5)}$或$\boldsymbol{(-4,5)}$；$(2)$$\triangle PMF$周长的最小值为$\boldsymbol{5}$。