《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

17.【新情境·数学文化】（2025·芜湖期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文（文：古代的一种货币单位）.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱.设这批椽的数量为$x$，则根据题意可列一元二次方程为____（化为一般式）.
$x^{2}-x - 2070 = 0$

答案： 【解析】：已知这批椽的数量为$x$株，每株椽的运费是$3$文，那么少拿一株椽即$(x - 1)$株椽的运费为$3(x - 1)$文，而一株椽的价钱为$\frac{6210}{x}$文。
因为少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，所以可列方程$3(x - 1)=\frac{6210}{x}$。
方程两边同乘$x$去分母得：$3x(x - 1)=6210$，
去括号得：$3x^{2}-3x = 6210$，
移项化为一般式为：$3x^{2}-3x - 6210 = 0$，两边同时除以$3$进一步化简为$x^{2}-x - 2070 = 0$。
【答案】：$x^{2}-x - 2070 = 0$

18.（2025·阜阳阶段练习）某商店销售一款成本价为40元的洗发水，如果按标价每瓶60元销售，那么每天可卖20瓶.该商店通过调查发现，每瓶洗发水的售价每降低1元，日销售量增加2瓶.
（1）如果该商店想保持日利润不变，且尽快销售完这批洗发水，那么每瓶洗发水的售价应定为多少元？
（2）同城另一家商店也销售同款洗发水，标价为每瓶62.5元.为促进销售，提高利润，这家商店决定实行打折促销，且其销售价格不低于（1）中的售价且不高于60元，则该洗发水最多打几折？

答案： 【解析】：
（1）首先计算出原日利润，原每瓶利润为$60 - 40=20$元，日销售量为$20$瓶，那么原日利润为$20\times20 = 400$元。
设每瓶洗发水的售价应定为$x$元，则每瓶的利润为$(x - 40)$元。
因为每瓶洗发水的售价每降低$1$元，日销售量增加$2$瓶，那么售价从$60$元降到$x$元，降低了$(60 - x)$元，日销售量为$20+2(60 - x)$瓶。
根据日利润不变可列方程$(x - 40)[20 + 2(60 - x)]=400$，
展开括号得$(x - 40)(20+120 - 2x)=400$，即$(x - 40)(140 - 2x)=400$，
进一步展开得$140x-2x^{2}-5600 + 80x = 400$，
移项合并同类项得$-2x^{2}+220x-6000 = 0$，
两边同时除以$-2$得$x^{2}-110x + 3000 = 0$，
分解因式得$(x - 50)(x - 60)=0$，
解得$x_{1}=50$，$x_{2}=60$（因为要尽快销售完这批洗发水，所以舍去$x = 60$）。
所以每瓶洗发水的售价应定为$50$元。
（2）设该洗发水打$y$折，已知标价为$62.5$元，那么售价为$62.5\times\frac{y}{10}$元。
因为销售价格不低于$50$元且不高于$60$元，所以$50\leqslant62.5\times\frac{y}{10}\leqslant60$，
先解不等式$62.5\times\frac{y}{10}\geqslant50$，两边同时乘以$10$得$62.5y\geqslant500$，解得$y\geqslant8$；
再解不等式$62.5\times\frac{y}{10}\leqslant60$，两边同时乘以$10$得$62.5y\leqslant600$，解得$y\leqslant9.6$。
所以$8\leqslant y\leqslant9.6$，则该洗发水最多打$9.6$折。
【答案】：（1）$50$；（2）$9.6$折

19.（2024·阜阳期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形非机动车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m），其余边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m宽的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.（备注信息：距教学楼后墙7m处，规划有机动车停车位）
（1）设非机动车车棚的宽度$AB$为$x$m，则非机动车车棚的长度$BC$为$72 - 3x$m.
（2）若非机动车车棚的面积为$285m^{2}$，试求出非机动车车棚的长和宽.
非机动车车棚的宽是$19m$，长是$15m$。
（3）若学校拟利用现有栅栏对非机动车车棚进行扩建，请问能围成面积为$450m^{2}$的非机动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
不能围成面积为$450m^{2}$的非机动车车棚。

答案： 【解析】：
### $(1)$求非机动车车棚的长度$BC$
已知不锈钢栅栏总长$70m$，左右两侧各开一个$1m$宽的出口，设非机动车车棚的宽度$AB$为$x m$，因为栅栏状如“山”字形，所以$BC$的长度为$(70 + 2 - 3x)=(72 - 3x)m$。
### $(2)$求非机动车车棚的长和宽
根据矩形面积公式$S = AB\times BC$，已知面积$S = 285m^{2}$，则$x(72 - 3x)=285$。
化简方程得$3x^{2}-72x + 285 = 0$，两边同时除以$3$得$x^{2}-24x + 95 = 0$。
分解因式$(x - 5)(x - 19)=0$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=19$。
当$x = 5$时，$BC=72 - 3\times5 = 57m$；
当$x = 19$时，$BC=72 - 3\times19 = 15m$。
又因为距教学楼后墙$7m$处规划有机动车停车位，当$x = 5$时，不满足规划要求，舍去。
所以车棚的宽是$19m$，长是$15m$。
### $(3)$判断能否围成面积为$450m^{2}$的非机动车车棚
假设能围成，由$x(72 - 3x)=450$，化简得$3x^{2}-72x + 450 = 0$，即$x^{2}-24x + 150 = 0$。
根据一元二次方程判别式$\Delta=b^{2}-4ac$（其中$a = 1$，$b=-24$，$c = 150$），$\Delta=(-24)^{2}-4\times1\times150=576 - 600=-24\lt0$。
所以此方程无实数根，即不能围成面积为$450m^{2}$的非机动车车棚。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{(72 - 3x)}$；
$(2)$宽是$\boldsymbol{19m}$，长是$\boldsymbol{15m}$；
$(3)$不能围成面积为$450m^{2}$的非机动车车棚。

20. 若关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^{2}+x+m^{2}-4=0$的一个根为0，则$m$的值为（A）
A. -2
B. 0
C. 2
D. -2或2

答案： A

21. 若关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^{2}+2x-2=0$有两个不等的实数根，则$k$的取值范围是$k\gt \frac{1}{2}$且$k\neq 1$.

答案： $k\gt \frac{1}{2}$且$k\neq 1$

22. 已知$x_{1},x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5=0$的两个实数根.若$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=28$，则$m$的值为6.

答案： $6$