《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

6.已知二次函数$y = -x^{2}+bx + c$.
(1)当$b = 4$，$c = 3$时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当$-1\leq x\leq3$时，求$y$的取值范围.
(2)当$x\leq0$时，$y$的最大值为$2$；当$x\gt0$时，$y$的最大值为$3$.求此二次函数的解析式.

答案： 【解析】：
(1)①当$b = 4$，$c = 3$时，二次函数的解析式为$y=-x^{2}+4x + 3$。
将其化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^{2}+4x + 3\\&=-(x^{2}-4x)+3\\&=-(x^{2}-4x + 4 - 4)+3\\&=-[(x - 2)^{2}-4]+3\\&=-(x - 2)^{2}+4 + 3\\&=-(x - 2)^{2}+7\end{aligned}$
根据顶点式$y=a(x - h)^{2}+k$（$a\neq0$）的顶点坐标为$(h,k)$，所以该函数图象的顶点坐标为$(2,7)$。
②由①知$y =-(x - 2)^{2}+7$，函数图象开口向下，对称轴为$x = 2$。
当$x = 2$时，$y$有最大值$y_{max}=7$。
分别计算$x=-1$和$x = 3$时$y$的值：
当$x=-1$时，$y=-(-1)^{2}+4\times(-1)+3=-1 - 4 + 3=-2$；
当$x = 3$时，$y=-3^{2}+4\times3 + 3=-9 + 12 + 3=6$。
因为$-2\lt6$，所以当$-1\leq x\leq3$时，$y$的取值范围是$-2\leq y\leq7$。
(2)二次函数$y=-x^{2}+bx + c$的图象开口向下，对称轴为$x =-\frac{b}{2\times(-1)}=\frac{b}{2}$。
分三种情况讨论：
①当$\frac{b}{2}\lt0$，即$b\lt0$时：
当$x\leq0$时，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小，所以当$x=\frac{b}{2}$时，$y$有最大值$y_{max}=-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}+b\times\frac{b}{2}+c=\frac{b^{2}}{4}+c$，已知当$x\leq0$时，$y$的最大值为$2$，则$\frac{b^{2}}{4}+c = 2$。
当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而减小，所以当$x = 0$时，$y$有最大值$y_{max}=c$，已知当$x\gt0$时，$y$的最大值为$3$，则$c = 3$。
把$c = 3$代入$\frac{b^{2}}{4}+c = 2$，得$\frac{b^{2}}{4}+3 = 2$，$\frac{b^{2}}{4}=-1$，此方程无实数解。
②当$\frac{b}{2}=0$，即$b = 0$时：
函数$y=-x^{2}+c$，当$x = 0$时，$y$有最大值$y_{max}=c$，已知当$x\leq0$时，$y$的最大值为$2$，当$x\gt0$时，$y$的最大值为$3$，这与$y=-x^{2}+c$在$x = 0$时取得最大值矛盾，所以这种情况不成立。
③当$\frac{b}{2}\gt0$，即$b\gt0$时：
当$x\leq0$时，$y$随$x$的增大而增大，所以当$x = 0$时，$y$有最大值$y_{max}=c$，已知当$x\leq0$时，$y$的最大值为$2$，则$c = 2$。
当$x\gt0$时，在对称轴$x=\frac{b}{2}$处取得最大值，$y_{max}=-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}+b\times\frac{b}{2}+c=\frac{b^{2}}{4}+c$，已知当$x\gt0$时，$y$的最大值为$3$，把$c = 2$代入$\frac{b^{2}}{4}+c = 3$，得$\frac{b^{2}}{4}+2 = 3$，$\frac{b^{2}}{4}=1$，$b^{2}=4$，因为$b\gt0$，所以$b = 2$。
所以二次函数的解析式为$y=-x^{2}+2x + 2$。
【答案】：
(1)①$(2,7)$；②$-2\leq y\leq7$；
(2)$y=-x^{2}+2x + 2$

7.将抛物线$y = x^{2}$先向右平移$3$个单位长度，再向上平移$4$个单位长度，得到的抛物线的解析式是(A)
A.$y = (x - 3)^{2}+4$
B.$y = (x + 3)^{2}+4$
C.$y = (x - 3)^{2}-4$
D.$y = (x + 3)^{2}-4$

答案： A

8.将抛物线$y = (x + 3)^{2}$先向下平移$1$个单位长度，再向右平移2或4个单位长度后，得到的新抛物线经过原点.

答案： $2$或$4$

9.下表给出了二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$中$x$，$y$的部分对应值，则可以估计一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的一个近似解$x_{1}$的范围是(C)
| $x$ | $\cdots$ | $1.2$ | $1.3$ | $1.4$ | $1.5$ | $1.6$ | $\cdots$ |
| $y$ | $\cdots$ | $-1.16$ | $-0.71$ | $-0.24$ | $0.25$ | $0.76$ | $\cdots$ |
A.$1.2\lt x_{1}\lt1.3$
B.$1.3\lt x_{1}\lt1.4$
C.$1.4\lt x_{1}\lt1.5$
D.$1.5\lt x_{1}\lt1.6$

答案： C

10.若抛物线$y = x^{2}+3x + a$与$x$轴只有一个交点，则实数$a$的值是$\frac{9}{4}$.

答案： $\frac{9}{4}$

11.如图，已知二次函数$y = ax^{2}+2x + c$的图象经过点$A(1,4)$和点$C(0,3)$.
(1)求该二次函数的解析式.
$y=-x^{2}+2x + 3$
(2)结合函数图象，直接回答下列问题：
①当$-1\lt x\lt2$时，函数值$y$的取值范围为$0\lt y\leqslant4$；
②当$y\geq0$时，$x$的取值范围为$-1\leqslant x\leqslant3$；
③方程$ax^{2}+2x + c = 3$的解为$x_{1}=0$，$x_{2}=2$.

答案： 【解析】：
### $(1)$求二次函数的解析式
已知二次函数$y = ax^{2}+2x + c$的图象经过点$A(1,4)$和点$C(0,3)$。
把$C(0,3)$代入$y = ax^{2}+2x + c$中，可得$c = 3$。
把$A(1,4)$，$c = 3$代入$y = ax^{2}+2x + c$中，得到$a\times1^{2}+2\times1 + 3 = 4$，即$a + 2 + 3 = 4$，解得$a=-1$。
所以该二次函数的解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$。
### $(2)$
**①求$-1\lt x\lt2$时$y$的取值范围**
先将二次函数$y=-x^{2}+2x + 3$化为顶点式$y=-(x - 1)^{2}+4$，可知其对称轴为$x = 1$，顶点坐标为$(1,4)$。
当$x=-1$时，$y=-(-1)^{2}+2\times(-1)+3=-1 - 2 + 3 = 0$；当$x = 1$时，$y = 4$。
所以当$-1\lt x\lt2$时，函数值$y$的取值范围为$0\lt y\leqslant4$。
**②求$y\geq0$时$x$的取值范围**
由图象可知，二次函数$y=-x^{2}+2x + 3$与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$，且函数图象开口向下。
所以当$y\geq0$时，$x$的取值范围为$-1\leqslant x\leqslant3$。
**③求方程$ax^{2}+2x + c = 3$的解**
方程$-x^{2}+2x + 3 = 3$，即$-x^{2}+2x=0$，$x(-x + 2)=0$，解得$x = 0$或$x = 2$。
【答案】：
①$0\lt y\leqslant4$；②$-1\leqslant x\leqslant3$；③$x_{1}=0$，$x_{2}=2$。

12.如图，一名学生推铅球，铅球行进的高度$y$(单位：$m$)与水平距离$x$(单位：$m$)之间的关系是$y = -\frac{1}{12}(x - 10)(x + 4)$，则铅球推出的距离$OA = $10$m$.

答案： $10$