《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

活动2 [提出问题]如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(-1,-2),在x轴上任取一点M,完成以下操作步骤:
①连接AM,作线段AM的垂直平分线l₁,过点M作x轴的垂线l₂,记l₁,l₂的交点为P.
②在x轴上多次改变点M的位置,按步骤①得到相应的点P,把这些点用平滑的曲线连接起来.观察画出的曲线L,猜想它是我们学过的哪种曲线.
[观察实验]
某数学兴趣小组在探究时发现在x轴上取几个特殊位置的点M,可以求出相对应的点P的坐标.
例如,取点M(-1,0),则点P的坐标为____.
取点M(4,0),过点P作直线x=-1的垂线,垂足为B,∴P(4,y),∴PM=-y.
在Rt△PAB中,根据勾股定理,得PA²=PB²+AB²=25+(-2-y)²(用含y的代数式表示).
∵点P在AM的垂直平分线上,∴PA=PM,∴PM²=PA²,
由此可列关于y的方程(-y)²=25+(-2-y)²,解得y=-29/4,∴P(4,-29/4).
[解决问题]
(1)请帮忙完成以上填空;
(2)在x轴上多次改变点M的位置,按上述操作步骤得到相应的点P的坐标,并完成下列表格;
|点M的坐标|…|(-4,0)|(-3,0)|(-1,0)|(1,0)|(3,0)|(4,0)|…|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|点P的坐标|…|(-4,____)|(-3,-2)|(____,____)|(1,____)|(3,-5)|(4,-29/4)|…|
(3)该数学兴趣小组求出点P(x,y)所在曲线L的解析式为____;
(4)兴趣小组在建立平面直角坐标系时受纸张大小的限制,若M点只能在-7＜x＜6的范围内移动,则y的取值范围是____;
[拓展提升]
(5)若点A(m,d)(d＜0),猜想曲线L的最高点的坐标为____,并说明理由.

答案： ### 活动2
- **[观察实验]**：
取点$M(-1,0)$，因为$l_{1}$是$AM$的垂直平分线，$l_{2}$是过$M$且垂直$x$轴的直线，$A(-1,-2)$，$M(-1,0)$，所以$AM$垂直$x$轴，$l_{1}$平行于$x$轴，$l_{2}$垂直$x$轴，交点$P$的坐标为$(-1,-1)$。
- **[解决问题]**：
**
(2)**：
当$M(-4,0)$时，$P(-4,y)$，$A(-1,-2)$，$PM=-y$，$PA^{2}=(-4 + 1)^{2}+(-2 - y)^{2}=9+(-2 - y)^{2}$，因为$PA = PM$，所以$(-y)^{2}=9+(-2 - y)^{2}$，
$\begin{aligned}y^{2}&=9+y^{2}+4y + 4\\4y&=-13\\y&=-\frac{13}{4}\end{aligned}$
当$M(-1,0)$时，$P(-1,-1)$；当$M(1,0)$时，$P(1,y)$，$PM=-y$，$PA^{2}=(1 + 1)^{2}+(-2 - y)^{2}=4+(-2 - y)^{2}$，因为$PA = PM$，所以$(-y)^{2}=4+(-2 - y)^{2}$，
$\begin{aligned}y^{2}&=4+y^{2}+4y + 4\\4y&=-8\\y&=-2\end{aligned}$
故表格依次填$-\frac{13}{4}$；$-1$；$-1$；$-2$。
**
(3)**：
设$P(x,y)$，$M(x,0)$，$A(-1,-2)$，$PM=-y$，$PA^{2}=(x + 1)^{2}+(-2 - y)^{2}$，因为$PA = PM$，所以$(-y)^{2}=(x + 1)^{2}+(-2 - y)^{2}$，
$\begin{aligned}y^{2}&=(x + 1)^{2}+y^{2}+4y+4\\(x + 1)^{2}+4y+4&=0\\y&=-\frac{1}{4}(x + 1)^{2}-1\end{aligned}$
曲线$L$的解析式为$y =-\frac{1}{4}(x + 1)^{2}-1$。
**
(4)**：
对于$y =-\frac{1}{4}(x + 1)^{2}-1$，对称轴为$x=-1$，当$x=-1$时，$y_{max}=-1$；
当$x = 6$时，$y=-\frac{1}{4}(6 + 1)^{2}-1=-\frac{49}{4}-1=-\frac{53}{4}$；
当$x=-7$时，$y=-\frac{1}{4}(-7 + 1)^{2}-1=-\frac{36}{4}-1=-10$，因为$-\frac{53}{4}\lt - 10$，所以$y\leqslant - 1$。
**
(5)**：
设$P(x,y)$，$M(x,0)$，$A(m,d)$，$PM=-y$，$PA^{2}=(x - m)^{2}+(d - y)^{2}$，因为$PA = PM$，所以$(-y)^{2}=(x - m)^{2}+(d - y)^{2}$，
$\begin{aligned}y^{2}&=(x - m)^{2}+y^{2}-2dy + d^{2}\\(x - m)^{2}-2dy + d^{2}&=0\\y&=\frac{1}{2d}(x - m)^{2}+\frac{d}{2}\end{aligned}$
因为$d\lt0$，所以当$x = m$时，$y$有最大值$\frac{d}{2}$，曲线$L$的最高点的坐标为$(m,\frac{d}{2})$。
【答案】：
### 活动1
(1)D
(2)积最大的是$25×25$（过程见解析）
(3)积最大的是$850×850$（理由见解析）
### 活动2
[观察实验]$(-1,-1)$
[解决问题]
(2)$-\frac{13}{4}$；$-1$；$-1$；$-2$
(3)$y =-\frac{1}{4}(x + 1)^{2}-1$
(4)$y\leqslant - 1$
(5)$(m,\frac{d}{2})$