《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1.(2025·六安金安区月考)某抛物线形的隧道示意图如图所示.已知抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac {1}{10}x^{2}+8$，为增加照明度，要在该抛物线上距地面AB高为6米的点E，F处安装两盏灯，则这两盏灯之间的水平距离EF是$4\sqrt{5}$米.(用含根号的式子表示)

答案： $4\sqrt{5}$

2.(2025·合肥蜀山区期中)如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线形，拱高6m，且在高度为10m的两根立柱AC和BD之间还安装了三根立柱，已知相邻两立柱间的距离均为5m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线对应的函数解析式.
(2)拱桥下的地平面是两条相反方向的行车道(两车道之间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2m、高3.2m的汽车(汽车间的间隔忽略不计)? 请说明你的理由.

答案： 【解析】：
### $(1)$求抛物线对应的函数解析式
设抛物线对应的函数解析式为$y = ax^{2}+bx + c$。
已知$A(0,0)$，$B(20,0)$（因为相邻两立柱间距离为$5m$，$AC$与$BD$间有$4$个间隔，所以$AB = 4\times5 = 20m$），顶点坐标为$(10,6)$（抛物线对称轴为$x=\frac{0 + 20}{2}=10$，顶点纵坐标为拱高$6$）。
把$A(0,0)$代入$y = ax^{2}+bx + c$得$c = 0$；
把$B(20,0)$代入$y = ax^{2}+bx$得$400a+20b = 0$ ①；
把顶点$(10,6)$代入$y = ax^{2}+bx$得$100a + 10b = 6$ ②；
由②$\times2-$①得：
$\begin{aligned}2(100a + 10b)-(400a+20b)&=2\times6-0\\200a+20b - 400a - 20b&=12\\-200a&=12\\a&=-\frac{3}{50}\end{aligned}$
把$a = -\frac{3}{50}$代入②得：$100\times(-\frac{3}{50})+10b = 6$，
$-6 + 10b = 6$，$10b = 12$，$b=\frac{6}{5}$。
所以抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{3}{50}x^{2}+\frac{6}{5}x$。
### $(2)$判断一条行车道能否并排行驶三辆宽$2m$、高$3.2m$的汽车
三辆宽$2m$的汽车并排行驶的宽度为$3\times2 = 6m$，加上隔离带$2m$，共占$6 + 2=8m$（这里计算的是从隔离带一侧到三辆车另一侧的距离），那么从对称轴$x = 10$向左或向右取$x=10 - 8=2$或$x = 10+8 = 18$（取$x = 2$计算即可）。
当$x = 2$时，$y=-\frac{3}{50}\times2^{2}+\frac{6}{5}\times2$
$=-\frac{12}{50}+\frac{120}{50}=\frac{-12 + 120}{50}=\frac{108}{50}= 2.16\lt3.2$；
当$x=3$时（三辆车宽$6m$，从对称轴$x = 10$向左$x=10 - 6 = 4$，计算$x = 4$），$y=-\frac{3}{50}\times4^{2}+\frac{6}{5}\times4$
$=-\frac{48}{50}+\frac{240}{50}=\frac{-48 + 240}{50}=\frac{192}{50}=3.84\gt3.2$。
【答案】：
$(1)$抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y = -\frac{3}{50}x^{2}+\frac{6}{5}x}$。
$(2)$能，理由：当$x = 4$时，$y=-\frac{3}{50}\times4^{2}+\frac{6}{5}\times4 = 3.84\gt3.2$，所以一条行车道能并排行驶三辆宽$2m$、高$3.2m$的汽车。

3.(2025·合肥庐阳区月考)某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形.若实心球运动的抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac {1}{9}(x-3)^{2}+4$，其中y(单位:m)是实心球飞行的高度，x(单位:m)是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即OA的长度)是 (D)


A.4m
B.6m
C.8m
D.9m

答案： D

4.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线可近似地看成一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间满足函数关系$y=-5x^{2}+20x$.请根据要求解答下列问题.
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少?
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用的时间是多少?
(3)在飞行过程中，小球的飞行高度何时最大?最大高度是多少?

答案： 【解析】：
(1) 当$y = 15$时，代入函数$y=-5x^{2}+20x$，得到$15=-5x^{2}+20x$，即$x^{2}-4x + 3 = 0$，因式分解为$(x - 1)(x - 3)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$。
(2) 当$y = 0$时，代入函数$y=-5x^{2}+20x$，得到$0=-5x^{2}+20x$，即$x^{2}-4x = 0$，$x(x - 4)=0$，解得$x_{1}=0$（飞出时刻），$x_{2}=4$（落地时刻），所以从飞出到落地所用时间是$4 - 0 = 4s$。
(3) 对于二次函数$y=-5x^{2}+20x$，其中$a=-5$，$b = 20$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2\times(-5)} = 2$，把$x = 2$代入函数得$y=-5\times2^{2}+20\times2=-20 + 40 = 20$。
【答案】：
(1) $1s$或$3s$；
(2) $4s$；
(3) 飞行$2s$时最大，最大高度是$20m$。