《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，$AB$ 是直径，$C$ 为 $\overset{\frown}{BD}$ 的中点，延长 $AD$，$BC$ 交于点 $P$，连接 $AC$。
(1) 求证：$AB = AP$；
(2) 当 $AB = 10$，$DP = 2$ 时，求线段 $CP$ 的长。

答案： 【解析】：
(1) 因为$C$为$\overset{\frown}{BD}$的中点，所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，根据圆周角定理，可得$\angle BAC = \angle PAC$。
因为$AB$是直径，所以$\angle ACB=\angle ACP = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$和$\triangle APC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BAC=\angle PAC\\AC = AC\\\angle ACB=\angle ACP\end{array}\right.$，根据$ASA$（角边角）定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle APC$，所以$AB = AP$。
(2) 因为$AB = AP = 10$，$DP = 2$，所以$AD=AP - DP=10 - 2 = 8$。
因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，所以$\angle PDC=\angle PBA$（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），又因为$\angle P=\angle P$，所以$\triangle PDC\sim\triangle PBA$。
根据相似三角形的性质，$\frac{CP}{AP}=\frac{DP}{BP}$，设$CP=x$，则$BC = CP=x$（由
(1)中$\triangle ABC\cong\triangle APC$），$BP=BC + CP = 2x$。
代入$\frac{CP}{AP}=\frac{DP}{BP}$，即$\frac{x}{10}=\frac{2}{2x}$，化简得$2x^{2}=20$，$x^{2}=10$，解得$x=\sqrt{10}$（负根舍去），所以$CP=\sqrt{10}$。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析；
(2)$\sqrt{10}$

2. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $CD \perp AB$ 于点 $E$，$G$ 是 $\overset{\frown}{AC}$ 上的一点，$AG$ 的延长线与 $DC$ 的延长线交于点 $F$，连接 $DG$，$CG$。
(1) 若 $CD = 8$，$BE = 2$，求 $\odot O$ 的半径；
(2) 求证：$\angle FGC = \angle AGD$。

答案： 【解析】：
### $(1)$求$\odot O$的半径
连接$OC$，因为$AB$是$\odot O$的直径，$CD\perp AB$，根据垂径定理可知$CE = DE=\frac{1}{2}CD$。
已知$CD = 8$，则$CE=\frac{1}{2}\times8 = 4$。
设$\odot O$的半径为$r$，因为$BE = 2$，所以$OE=r - 2$。
在$Rt\triangle OCE$中，根据勾股定理$OC^{2}=OE^{2}+CE^{2}$，即$r^{2}=(r - 2)^{2}+4^{2}$。
展开$(r - 2)^{2}+4^{2}$得$r^{2}=r^{2}-4r + 4+16$。
移项可得$r^{2}-r^{2}+4r=4 + 16$，即$4r=20$，解得$r = 5$。
### $(2)$证明$\angle FGC=\angle AGD$
连接$AD$，因为四边形$ADCG$是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角，所以$\angle FGC=\angle ADC$。
又因为$AB$是$\odot O$的直径，$CD\perp AB$，根据垂径定理可知$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}$。
再根据圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，所以$\angle ADC=\angle AGD$。
由$\angle FGC=\angle ADC$和$\angle ADC=\angle AGD$，可得$\angle FGC=\angle AGD$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{5}$；$(2)$证明过程如上述解析。

3. 如图，$\odot O$ 的直径 $CD$ 分别与弦 $AB$，$AF$ 交于点 $E$，$H$，连接 $AD$。已知 $CF = CH$，$FB = BD$。
(1) 求证：$AB \perp CD$；
(2) 若 $AE = 4$，$OH = 1$，求 $AO$ 的长。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$AB\perp CD$
已知$CF = CH$，根据“等边对等角”可得$\angle COF=\angle CHO$。
因为$\angle CHO=\angle AHE$，所以$\angle COF=\angle AHE$。
又因为$FB = BD$，根据“在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等”，可得$\angle AOD=\angle FOC$。
所以$\angle AHE=\angle AOD$。
在$\triangle AOD$中，$\angle OAD+\angle ADO+\angle AOD = 180^{\circ}$，且$OA = OD$（半径相等），所以$\angle OAD=\angle ADO$。
因为$\angle AHE+\angle HAE+\angle AEH = 180^{\circ}$，$\angle AHE=\angle AOD$，$\angle OAD=\angle ADO$，$\angle ADO=\angle HAE$（同弧所对的圆周角相等），所以$\angle AEH = 90^{\circ}$，即$AB\perp CD$。
### $(2)$ 求$AO$的长
设$AO = x$，则$OH = 1$，$AH=x + 1$。
因为$AB\perp CD$，根据垂径定理可知$AE=EB = 4$。
在$Rt\triangle AOE$中，根据勾股定理$AO^{2}=AE^{2}+OE^{2}$，即$x^{2}=4^{2}+(x - 1)^{2}$。
展开式子得$x^{2}=16+x^{2}-2x + 1$。
移项可得$2x=16 + 1$。
合并同类项得$2x=17$，解得$x=\frac{17}{2}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{\frac{17}{2}}$

4. 如图，以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 经过 $\triangle ABC$ 的顶点 $C$，$AE$，$BE$ 分别平分 $\angle BAC$ 和 $\angle ABC$，$AE$ 的延长线交 $\odot O$ 于点 $D$，连接 $BD$。
(1) 判断 $\triangle BDE$ 的形状，并说明理由；
(2) 若 $AB = 10$，$BE = 2\sqrt{10}$，求 $BC$ 的长。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 判断$\triangle BDE$的形状
- 因为$AE$平分$\angle BAC$，$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle BAE=\angle CAD=\angle CBD$，$\angle ABE = \angle EBC$。
- 由于$\angle BED=\angle BAE+\angle ABE$，$\angle DBE=\angle DBC+\angle CBE$。
- 又因为$\angle BAE=\angle CBD$，$\angle ABE = \angle EBC$，所以$\angle BED=\angle DBE$。
- 因为$AB$是直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
- 在$\triangle BDE$中，$\angle ADB = 90^{\circ}$且$\angle BED=\angle DBE$，所以$\triangle BDE$是等腰直角三角形。
### $(2)$ 求$BC$的长
- 连接$OD$交$BC$于点$F$。
- 因为$\angle BAD=\angle CAD$，所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$（相等的圆周角所对的弧相等）。
- 根据垂径定理，$OD\perp BC$，$BC = 2BF$。
- 因为$AB$是直径，$AB = 10$，所以$OB = OD=\frac{1}{2}AB = 5$。
- 由$(1)$知$\triangle BDE$是等腰直角三角形，$BE = 2\sqrt{10}$，所以$BD=\frac{BE}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{5}$。
- 设$OF=x$，则$DF = 5 - x$。
- 在$Rt\triangle BOF$中，$BF^{2}=OB^{2}-OF^{2}=25 - x^{2}$；在$Rt\triangle BDF$中，$BF^{2}=BD^{2}-DF^{2}=20-(5 - x)^{2}$。
- 所以$25 - x^{2}=20-(5 - x)^{2}$，展开$20-(5 - x)^{2}$得$20-(25 - 10x+x^{2})=- 5+10x - x^{2}$。
- 则$25 - x^{2}=-5 + 10x - x^{2}$，移项可得$10x=30$，解得$x = 3$。
- 把$x = 3$代入$BF^{2}=25 - x^{2}$，得$BF^{2}=25 - 9 = 16$，所以$BF = 4$。
- 那么$BC = 2BF=8$。
【答案】：
$(1)$ $\triangle BDE$是等腰直角三角形，理由见上述解析；$(2)$ $8$