《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

7. 已知抛物线$y = x^{2}+bx + c$（$b$，$c$为常数）经过点$(-1,8)$，$(4,3)$。
(1) 求该抛物线对应的函数解析式；
(2) 若点$(t,y_{1})$，$(t + 1,y_{2})$在该抛物线上，当$t＞2$时，试比较$y_{1}$与$y_{2}$的大小；
(3) $A(m,n)$为该抛物线上的一点，当$2m - n$取得最大值时，求点$A$的坐标。

答案： 【解析】：
(1) 已知抛物线$y = x^{2}+bx + c$经过点$(-1,8)$，$(4,3)$，将这两点代入抛物线方程可得方程组：
$\begin{cases}1 - b + c = 8\\16 + 4b + c = 3\end{cases}$
用第二个方程$16 + 4b + c = 3$减去第一个方程$1 - b + c = 8$消去$c$可得：
$\begin{aligned}(16 + 4b + c)-(1 - b + c)&=3 - 8\\16 + 4b + c - 1 + b - c&=-5\\15 + 5b&=-5\\5b&=-20\\b&=-4\end{aligned}$
把$b = -4$代入$1 - b + c = 8$可得：
$1-(-4)+c = 8$，即$5 + c = 8$，解得$c = 3$。
所以该抛物线对应的函数解析式为$y = x^{2}-4x + 3$。
(2) 对于抛物线$y = x^{2}-4x + 3$，其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，在$y = x^{2}-4x + 3$中$a = 1$，$b=-4$，则对称轴为$x =-\frac{-4}{2\times1}=2$。
因为$a = 1\gt0$，所以抛物线开口向上，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大。
已知点$(t,y_{1})$，$(t + 1,y_{2})$在该抛物线上，且$t\gt2$，那么$t+1\gt t\gt2$，所以$y_{2}\gt y_{1}$。
(3) 因为$A(m,n)$为该抛物线上的一点，所以$n = m^{2}-4m + 3$。
则$2m - n=2m-(m^{2}-4m + 3)=-m^{2}+6m - 3$。
对于二次函数$y=-m^{2}+6m - 3$，其中$a=-1$，$b = 6$，$c=-3$，其对称轴为$m =-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\times(-1)} = 3$。
因为$a=-1\lt0$，所以当$m = 3$时，$2m - n$取得最大值。
把$m = 3$代入$n = m^{2}-4m + 3$可得：$n=3^{2}-4\times3 + 3=9 - 12 + 3 = 0$。
所以当$2m - n$取得最大值时，点$A$的坐标为$(3,0)$。
【答案】：
(1)$y = x^{2}-4x + 3$；
(2)$y_{2}\gt y_{1}$；
(3)$(3,0)$

8. 如图，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象交$x$轴于$A(-1,0)$，$B(2,0)$两点，交$y$轴于点$C(0,-2)$，连接$AC$。
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 若点$P$在$x$轴正半轴上，且$PA = PC$，求$OP$的长。

答案： 【解析】：
### $(1)$求二次函数的解析式
已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象交$x$轴于$A(-1,0)$，$B(2,0)$两点，交$y$轴于点$C(0,-2)$。
把$A(-1,0)$，$B(2,0)$，$C(0,-2)$分别代入$y = ax^{2}+bx + c$中，可得方程组$\begin{cases}a - b + c = 0\\4a + 2b + c = 0\\c = -2\end{cases}$。
将$c = -2$代入$a - b + c = 0$和$4a + 2b + c = 0$中，得到$\begin{cases}a - b-2 = 0\\4a + 2b-2 = 0\end{cases}$。
由$a - b-2 = 0$可得$a = b + 2$，将其代入$4a + 2b-2 = 0$中：
$\begin{aligned}4(b + 2)+2b-2&=0\\4b+8 + 2b-2&=0\\6b+6&=0\\6b&=-6\\b&=-1\end{aligned}$
把$b = -1$代入$a = b + 2$，得$a = -1 + 2 = 1$。
所以二次函数的解析式为$y = x^{2}-x - 2$。
### $(2)$求$OP$的长
设$OP = x$，则$PA=x + 1$，$PC=\sqrt{x^{2}+4}$。
因为$PA = PC$，所以$x + 1=\sqrt{x^{2}+4}$。
两边平方可得$(x + 1)^{2}=x^{2}+4$，即$x^{2}+2x + 1=x^{2}+4$。
移项可得$x^{2}+2x - x^{2}=4 - 1$，即$2x = 3$，解得$x=\frac{3}{2}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{y = x^{2}-x - 2}$；$(2)$$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$

9. 如图，对称轴为$x = - 1$的抛物线$y = x^{2}+bx + c$与$x$轴相交于$A$，$B$两点，其中点$A$的坐标为$(-3,0)$。
(1) 求点$B$的坐标；
(2) 求该二次函数的解析式；
(3) 已知$C$为抛物线与$y$轴的交点，设$Q$是线段$AC$上的动点，过点$Q$作$QD// y$轴，交抛物线于点$D$，求线段$QD$的长度的最大值。

答案： 【解析】：
(1) 因为抛物线对称轴为$x = - 1$，$A$、$B$两点关于$x = - 1$对称，$A(-3,0)$，设$B(x,0)$，根据对称轴公式$\frac{-3 + x}{2}=-1$，解得$x = 1$，所以$B(1,0)$。
(2) 把$A(-3,0)$，$B(1,0)$代入$y = x^{2}+bx + c$得$\begin{cases}9 - 3b + c = 0\\1 + b + c = 0\end{cases}$，两式相减$(9 - 3b + c)-(1 + b + c)=0$，即$8 - 4b = 0$，解得$b = 2$，把$b = 2$代入$1 + b + c = 0$得$1+2 + c = 0$，$c=-3$，所以二次函数解析式为$y = x^{2}+2x - 3$。
(3) 当$x = 0$时，$y=-3$，所以$C(0,-3)$。设直线$AC$解析式为$y = kx + m$，把$A(-3,0)$，$C(0,-3)$代入得$\begin{cases}-3k + m = 0\\m = - 3\end{cases}$，解得$k=-1$，$m = - 3$，所以$y=-x - 3$。设$Q(x,-x - 3)(-3\leqslant x\leqslant0)$，$D(x,x^{2}+2x - 3)$，则$QD=(-x - 3)-(x^{2}+2x - 3)=-x^{2}-3x=-(x+\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}$，因为$-1\lt0$，所以当$x = -\frac{3}{2}$时，$QD$有最大值$\frac{9}{4}$。
【答案】：
(1)$(1,0)$
(2)$y = x^{2}+2x - 3$
(3)$\frac{9}{4}$