《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1. 设 $ x_1 $，$ x_2 $ 是一元二次方程 $ 2x^2 - 5x - 1 = 0 $ 的两个根，求下列代数式的值：
(1) $ x_1^2x_2 + x_2^2x_1 $； (2) $ x_1^2 + x_2^2 - 3x_1x_2 $；
(3) $ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} $； (4) $ |x_1 - x_2| $。

答案：
(1) $-\frac{5}{4}$
(2) $\frac{35}{4}$
(3) $-\frac{29}{2}$
(4) $\frac{\sqrt{33}}{2}$

2. 设 $ m $，$ n $ 是一元二次方程 $ x^2 + 2x - 7 = 0 $ 的两个根，求 $ m^2 + 3m + n $ 的值。

答案： 5

3. 已知 $ m^2 - 2m - 1 = 0 $，$ n^2 - 2n - 1 = 0 $，且 $ m \neq n $，求 $ m(n - 1) - n $ 的值。

答案： -3

4. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2kx + k^2 + k + 1 = 0 $ 的两个实数根的平方和为 10，求 $ k $ 的值。

答案： -2

5. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2kx + k - 1 = 0 $。
(1) 求证：不论 $ k $ 为何值，方程总有两个不等的实数根；
(2) 若 $ x_1 $，$ x_2 $ 为该方程的两个实数根，且满足 $ x_1(x_2 - 2) = 2x_2 $，求 $ k $ 的值。

答案： 解:
(1) 证明: $\because \Delta=(2k)^2 - 4(k - 1) = 4k^2 - 4k + 4 = (2k - 1)^2 + 3$, $(2k - 1)^2 \geq 0$, $\therefore (2k - 1)^2 + 3 ＞ 0$, 即 $\Delta ＞ 0$, $\therefore$ 不论 $k$ 为何值, 方程总有两个不等的实数根.
(2) $\frac{1}{5}$

6. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + (2m + 1)x + m^2 - 4 = 0 $。
(1) 当 $ m $ 为何值时，方程有两个不等的实数根？
(2) 若边长为 5 的菱形的两条对角线的长分别为该方程两个根的 2 倍，求 $ m $ 的值。

答案：
(1) 当 $m ＞ -\frac{17}{4}$ 时
(2) $m = -4$