《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

7.【新情境·跨学科】小明同学是一名古诗文爱好者,他改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》:大江东去浪淘尽,千古风流人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿同.哪位学子算得快,多少年华数周瑜?假设周瑜去世时年龄的十位数字是x,则可列方程为(C)
A.$10x+(x-3)=(x-3)^{2}$
B.$10(x+3)+x=x^{2}$
C.$10x+(x+3)=(x+3)^{2}$
D.$10(x+3)+x=(x+3)^{2}$

答案： C

8.一个两位数,它的十位数字比个位数字小4.若把两个数字的位置调换,则所得的两位数与原两位数的乘积等于765.求这个两位数是多少.

答案： 【解析】：设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x + 4$。
原两位数可表示为$10x+(x + 4)=11x + 4$；
把两个数字位置调换后，新两位数可表示为$10(x + 4)+x=10x+40+x=11x + 40$。
已知所得的两位数与原两位数的乘积等于$765$，则可列方程$(11x + 4)(11x + 40)=765$。
展开括号得：$121x^{2}+440x+44x + 160 = 765$。
移项化为一元二次方程的一般形式：$121x^{2}+484x+160 - 765 = 0$，即$121x^{2}+484x - 605 = 0$。
方程两边同时除以$121$得：$x^{2}+4x - 5 = 0$。
分解因式得$(x + 5)(x - 1)=0$。
则$x+5 = 0$或$x - 1 = 0$。
解得$x_{1}=-5$（因为$x$表示十位数字，为正整数，所以舍去），$x_{2}=1$。
当$x = 1$时，个位数字为$x + 4=1 + 4 = 5$。
所以这个两位数是$15$。
【答案】：$15$

9.某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了15条航线,则这个航空公司的飞机场有(B)
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个

答案： B

10.有一种“微信点名”活动,参与者需要回答一系列问题,并将问题和自己的答案发布在朋友圈中,同时还要“@”一定数量的其他人,邀请他们也参与活动,每人只能参与一次.小明被邀请参加“微信点名”活动,他决定参与并按规定“@”其他人.如果收到小明邀请的人都参与了活动并也按规定“@”了其他人,且从小明开始算起,转发两轮后共有91人被邀请参与该活动,那么参与该活动后需要“@”9人.

答案： $9$

11.(教材P17习题T12变式)阅读下面的内容:
我们知道,计算n边形$(n≥3)$的对角线条数的公式为$\frac {1}{2}n(n-3)$.如果一个n边形共有20条对角线,那么可以得到方程$\frac {1}{2}n(n-3)=20$.整理,得$n^{2}-3n-40=0$,解得$n=8$或$n=-5.\because n≥3,\therefore n=-5$不符合题意,舍去,$\therefore n=8$,即该多边形是八边形.
根据以上内容,回答下列问题:
(1)若一个多边形共有14条对角线,求这个多边形的边数n.
(2)某同学说:“我求得一个多边形共有10条对角线.”你认为该同学的说法正确吗?请说明理由.

答案： 【解析】：
(1)已知计算$n$边形$(n\geq3)$的对角线条数的公式为$\frac{1}{2}n(n - 3)$，若一个多边形共有$14$条对角线，则可得到方程$\frac{1}{2}n(n - 3)=14$。
整理方程：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}n(n - 3)&=14\\n(n - 3)&=28\\n^{2}-3n - 28&=0\end{aligned}$
对于一元二次方程$n^{2}-3n - 28 = 0$，其中$a = 1$，$b=-3$，$c = - 28$，根据求根公式$n=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得：
$\begin{aligned}n&=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\times1\times(-28)}}{2\times1}\\&=\frac{3\pm\sqrt{9 + 112}}{2}\\&=\frac{3\pm\sqrt{121}}{2}\\&=\frac{3\pm11}{2}\end{aligned}$
则$n_1=\frac{3 + 11}{2}=7$，$n_2=\frac{3-11}{2}=-4$。
因为$n\geq3$，所以$n=-4$不符合题意，舍去，故$n = 7$，即这个多边形的边数是$7$。
(2)若一个多边形共有$10$条对角线，则可得到方程$\frac{1}{2}n(n - 3)=10$。
整理方程：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}n(n - 3)&=10\\n(n - 3)&=20\\n^{2}-3n - 20&=0\end{aligned}$
对于一元二次方程$n^{2}-3n - 20 = 0$，其中$a = 1$，$b=-3$，$c = - 20$，根据求根公式$n=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得：
$\begin{aligned}n&=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\times1\times(-20)}}{2\times1}\\&=\frac{3\pm\sqrt{9 + 80}}{2}\\&=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}\end{aligned}$
因为$n$为多边形的边数，$n$必须是正整数，而$\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$不是正整数，所以该同学的说法不正确。
【答案】：
(1)$7$；
(2)该同学的说法不正确，理由：若一个多边形共有$10$条对角线，列方程$\frac{1}{2}n(n - 3)=10$，整理得$n^{2}-3n - 20 = 0$，解得$n=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$，$n$不是正整数，而多边形边数$n$应为正整数，所以该同学说法不正确。