《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

8.已知抛物线与$x$轴交于$A(-2,0)$，$B(3,0)$两点，与$y$轴交于点$C(1,6)$.可设该二次函数的解析式为$y=a(x+2)(x-3)$，将$C(1,6)$代入，可得方程$6=a×(1 + 2)×(1 - 3)$，解得$a=-1$，所以该二次函数的解析式为$y=-x^{2}+x + 6$.

答案： $2$；$3$；$6=a\times(1 + 2)\times(1 - 3)$；$y=-x^{2}+x + 6$

9.【新考法·开放题】写出一个经过点$(0,0)$，$(-2,0)$的二次函数的解析式：$y = x^{2}+2x$（答案不唯一）

答案： $y = x^{2}+2x$（答案不唯一）

10.如图，已知抛物线交$x$轴于$A$，$B$两点，交$y$轴于点$C$，点$A$的坐标为$(-1,0)$，$OC=2$，$OB=3$，则该抛物线的解析式为$y =-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x + 2$.

答案： $y =-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x + 2$

11.已知函数$y=ax^{2}+bx+c$，则由表格中的信息可知$y$与$x$之间的函数解析式是（A）
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $ax^{2}$ | | | $1$ |
| $ax^{2}+bx+c$ | $8$ | $3$ | |
A.$y=x^{2}-4x+3$
B.$y=x^{2}-3x+4$
C.$y=x^{2}-3x+3$
D.$y=x^{2}-4x+8$

答案： A

12.【分类讨论思想】形状与抛物线$y=-x^{2}-2$相同，对称轴是$x=-2$，且过点$(0,3)$的抛物线对应的函数解析式是$y = x^{2}+4x + 3$或$y = -x^{2}-4x + 3$.

答案： $y = x^{2}+4x + 3$或$y = -x^{2}-4x + 3$

13.如图，在平行四边形$ABCD$中，$AB=4$，点$D$的坐标是$(0,8)$，以$C$为顶点的抛物线经过$x$轴上的点$A$，$B$，则此抛物线的解析式为__________.

答案： $y=-2x^{2}+16x - 24$

14.(2024·六安霍邱期末)如图，抛物线过点$O(0,0)$，$E(6,0)$，矩形$ABCD$的边$AB$在线段$OE$上(点$B$在点$A$的左侧)，点$C$，$D$在抛物线上，$B(t,0)$，当$t=2$时，$BC=4$.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)当$t$为何值时，矩形$ABCD$的周长有最大值？最大值是多少？

答案： 【解析】：
### $(1)$求抛物线对应的函数解析式
设抛物线对应的函数解析式为$y = ax^{2}+bx + c$。
已知抛物线过点$O(0,0)$，$E(6,0)$，把$O(0,0)$代入$y = ax^{2}+bx + c$得$c = 0$，所以$y=ax^{2}+bx$。
又因为$B(t,0)$，当$t = 2$时，$BC = 4$，此时$C$点坐标为$(2,-4)$，把$E(6,0)$，$C(2,-4)$代入$y=ax^{2}+bx$得：
$\begin{cases}36a + 6b = 0\\4a + 2b = - 4\end{cases}$
由$36a + 6b = 0$可得$6a + b = 0$，即$b=-6a$。
把$b=-6a$代入$4a + 2b = - 4$得：
$4a+2\times(-6a)=-4$
$4a - 12a=-4$
$-8a=-4$
解得$a=\frac{1}{2}$。
把$a=\frac{1}{2}$代入$b=-6a$得$b=-3$。
所以抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-3x$。
### $(2)$求矩形$ABCD$周长的最大值及此时$t$的值
因为$B(t,0)$，则$C(t,\frac{1}{2}t^{2}-3t)$，$A(6 - (\frac{1}{2}t^{2}-3t),0)$（因为$OE = 6$，$AB=6 - 2t$），$AB = 6 - 2t$，$BC=-\left(\frac{1}{2}t^{2}-3t\right)=-\frac{1}{2}t^{2}+3t$。
矩形$ABCD$的周长$L = 2(AB + BC)=2\left[(6 - 2t)+(-\frac{1}{2}t^{2}+3t)\right]$
$=2\left(6 - 2t-\frac{1}{2}t^{2}+3t\right)$
$=2\left(-\frac{1}{2}t^{2}+t + 6\right)$
$=-t^{2}+2t + 12$
对于二次函数$L=-t^{2}+2t + 12$，其中$a=-1$，$b = 2$，$c = 12$。
根据二次函数顶点公式$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\times(-1)} = 1$。
当$t = 1$时，$L_{max}=-1^{2}+2\times1 + 12=-1 + 2 + 12 = 13$。
【答案】：
$(1)$抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x^{2}-3x}$；
$(2)$当$\boldsymbol{t = 1}$时，矩形$ABCD$的周长有最大值，最大值是$\boldsymbol{13}$。

15.(2025·淮北期末)如图，在平面直角坐标系中，点$A(-1,0)$，$B(0,5)$在抛物线$y=-x^{2}+bx+c$上，点$C$为该抛物线的顶点，$P$为该抛物线上的一点，其横坐标为$m$.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当该抛物线在点$A$与点$P$之间(包含点$A$和点$P$)的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求$m$的取值范围并写出这个定值；
(3)当$m＞0$时，设该抛物线在点$B$与点$P$之间(包含点$B$和点$P$)的部分的最高点和最低点到$x$轴的距离分别为$d$，$n$，当$d-n=4$时，求$m$的取值范围.

答案：  
(1) $y = - x ^ { 2 } + 4 x + 5  (2) 抛物线在点  A  与点 P 之间(包含点  A 和点  P )的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值 9，此时  m  的取值范围是  2 \leq m \leq 5  (3) 2 \leq m \leq 4 或 m = 2 + \sqrt { 14 } $