《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

答案： 【解析】：本题主要考查二次函数的相关性质。
1. 对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a,b,c$是常数，$a\neq0)$，其对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$。
2. 把$x = -\frac{b}{2a}$代入函数可得顶点纵坐标为$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，所以顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$。
3. 当$a\gt0$时，抛物线开口向上，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，即$x\gt -\frac{b}{2a}$；在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，即$x\lt -\frac{b}{2a}$。
4. 当$a\lt0$时，抛物线开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，即$x\gt -\frac{b}{2a}$；在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，即$x\lt -\frac{b}{2a}$。
5. 抛物线$y = ax^{2}(a\neq0)$上、下平移$\vert k\vert$个单位长度得到$y = ax^{2}+k(a\neq0)$；左、右平移$\vert h\vert$个单位长度得到$y = a(x - h)^{2}(a\neq0)$；上、下平移$\vert k\vert$个单位长度，左、右平移$\vert h\vert$个单位长度得到$y = a(x - h)^{2}+k(a\neq0)$。
6. 对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta = b^{2}-4ac$，当$\Delta\gt0$时，方程有两个不同的实数根，所以图象与$x$轴有两个交点；当$\Delta = 0$时，方程有两个相同的实数根，所以图象与$x$轴有一个交点；当$\Delta\lt0$时，方程没有实数根，所以图象与$x$轴没有交点。
7. 对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，当$a\gt0$时，函数有最小值，把$x = -\frac{b}{2a}$代入可得$y_{最小值}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$；当$a\lt0$时，函数有最大值，把$x = -\frac{b}{2a}$代入可得$y_{最大值}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。
【答案】：①$x = -\frac{b}{2a}$；②$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$；③$x\gt -\frac{b}{2a}$；④$x\lt -\frac{b}{2a}$；⑤$x\lt -\frac{b}{2a}$；⑥$x\gt -\frac{b}{2a}$；⑦$\vert k\vert$；⑧$\vert h\vert$；⑨$\vert k\vert$；⑩$\vert h\vert$；⑪两；⑫一；⑬零；⑭$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$；⑮$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$

1.(一题多问)已知二次函数的解析式为$y = x^{2}-2x - 3$，请解答下列问题：
(1)二次函数的图象开口向上，对称轴为$x = 1$，顶点坐标为$(1,-4)$；
(2)该二次函数有最小(填“大”或“小”)值，为$-4$；
(3)该二次函数在$0\leq x\leq3$的取值范围内，最大值为$0$，最小值为$-4$；
(4)该二次函数的图象与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)$，与$x$轴有$2$个交点，交点坐标分别为$(-1,0)$，$(3,0)$；
(5)若点$A(3,y_{1})$，$B(-1,y_{2})$，$C(-2,y_{3})$在该二次函数的图象上，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系是$y_{3}\gt y_{1}=y_{2}$.

答案： 【解析】：
1. 对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的性质：
二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的开口方向由$a$的正负决定，当$a\gt0$时，开口向上；当$a\lt0$时，开口向下。对称轴公式为$x =-\frac{b}{2a}$，顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$。
在二次函数$y=x^{2}-2x - 3$中，$a = 1\gt0$，$b=-2$，$c = - 3$。
对称轴$x=-\frac{-2}{2\times1}=1$。
把$x = 1$代入函数$y=x^{2}-2x - 3$得$y=1^{2}-2\times1 - 3=1 - 2 - 3=-4$，所以顶点坐标为$(1,-4)$。
2. 因为$a = 1\gt0$，二次函数图象开口向上，所以函数有最小值，当$x = 1$时，$y_{min}=-4$。
3. 求函数在$0\leq x\leq3$的取值范围内的最值：
先分析函数单调性，对于二次函数$y=x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$，对称轴为$x = 1$，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大。
当$x = 1$时，$y=-4$；当$x = 0$时，$y=0^{2}-2\times0 - 3=-3$；当$x = 3$时，$y=3^{2}-2\times3 - 3=9 - 6 - 3=0$。所以在$0\leq x\leq3$的取值范围内，最大值为$0$，最小值为$-4$。
4. 求函数与坐标轴的交点：
求与$y$轴的交点，令$x = 0$，则$y=0^{2}-2\times0 - 3=-3$，所以与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)$。
求与$x$轴的交点，令$y = 0$，即$x^{2}-2x - 3 = 0$，分解因式得$(x - 3)(x + 1)=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$，所以与$x$轴有$2$个交点，交点坐标分别为$(-1,0)$，$(3,0)$。
5. 比较$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小：
已知点$A(3,y_{1})$，$B(-1,y_{2})$，$C(-2,y_{3})$在二次函数$y=x^{2}-2x - 3$的图象上。
当$x = 3$时，$y_{1}=3^{2}-2\times3 - 3=0$；当$x=-1$时，$y_{2}=(-1)^{2}-2\times(-1)-3=1 + 2 - 3=0$；当$x=-2$时，$y_{3}=(-2)^{2}-2\times(-2)-3=4 + 4 - 3=5$。所以$y_{3}\gt y_{1}=y_{2}$。
【答案】：
(1)向上；$x = 1$；$(1,-4)$；
(2)小；$-4$；
(3)$0$；$-4$；
(4)$(0,-3)$；$2$；$(-1,0)$，$(3,0)$；
(5)$y_{3}\gt y_{1}=y_{2}$

2.(2023·安徽)下列函数中，$y$的值随$x$的值的增大而减小的是(D)
A.$y = x^{2}+1$
B.$y = -x^{2}+1$
C.$y = 2x + 1$
D.$y = -2x + 1$

答案： D

3.二次函数$y = ax^{2}+bx$和一次函数$y = bx + a$在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是(D)

答案： D

4.(2024·湖北)已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a,b,c$为常数，$a\neq0)$的顶点坐标为$(-1,-2)$，且与$y$轴的交点在$x$轴上方，下列结论正确的是(C)
A.$a\lt0$
B.$c\lt0$
C.$a - b + c = -2$
D.$b^{2}-4ac = 0$

答案： C

5.已知抛物线$y = ax^{2}-2ax + b(a\gt0)$经过$A(2n + 3,y_{1})$，$B(n - 1,y_{2})$两点.若点$A$，$B$分别位于抛物线对称轴的两侧，且$y_{1}\lt y_{2}$，则$n$的取值范围是$-1\lt n\lt0$.

答案： 【解析】：
本题可先求出抛物线对称轴，再根据点$A$，$B$分别位于抛物线对称轴的两侧且$y_{1}\lt y_{2}$列出关于$n$的不等式组，进而求解$n$的取值范围。
- **步骤一：求抛物线对称轴**
对于抛物线$y = ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$），其对称轴公式为$x = -\dfrac{b}{2a}$。
在抛物线$y = ax^{2}-2ax + b(a\gt0)$中，$b = -2a$，将其代入对称轴公式可得：
$x = -\dfrac{-2a}{2a}= 1$
即抛物线$y = ax^{2}-2ax + b(a\gt0)$的对称轴为直线$x = 1$。
- **步骤二：根据点$A$，$B$的位置和$y_{1}\lt y_{2}$列出不等式组**
因为$a\gt0$，所以抛物线开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大。
已知点$A(2n + 3,y_{1})$，$B(n - 1,y_{2})$分别位于抛物线对称轴的两侧，且$y_{1}\lt y_{2}$，所以点$A$到对称轴的距离小于点$B$到对称轴的距离，可据此列出不等式组：
$\begin{cases}(2n + 3 - 1)(n - 1 - 1)\lt0\\|2n + 3 - 1|\lt|n - 1 - 1|\end{cases}$
分别求解这两个不等式：
解不等式$(2n + 3 - 1)(n - 1 - 1)\lt0$，即$(2n + 2)(n - 2)\lt0$，可得$-1\lt n\lt2$。
解不等式$|2n + 3 - 1|\lt|n - 1 - 1|$，即$|2n + 2|\lt|n - 2|$，两边同时平方可得$(2n + 2)^{2}\lt(n - 2)^{2}$，展开并移项可得：
$4n^{2}+8n + 4\lt n^{2}-4n + 4$
$3n^{2}+12n\lt0$
$n^{2}+4n\lt0$
$n(n + 4)\lt0$
解得$-4\lt n\lt0$。
- **步骤三：求不等式组的解集**
综合以上两个不等式的解$-1\lt n\lt2$和$-4\lt n\lt0$，取交集可得$-1\lt n\lt0$。
【答案】：$-1\lt n\lt0$