《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

10.已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m+2=0$有两个不等的实数根$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=2$,则实数$m=$3.

答案： $3$

11.(2024·绥化)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5.原来的方程是（B）
A.$x^{2}+6x+5=0$
B.$x^{2}-7x+10=0$
C.$x^{2}-5x+2=0$
D.$x^{2}-6x-10=0$

答案： B

12.若α,β是一元二次方程$x^{2}+3x-6=0$的两个不等的实数根,则$\alpha ^{2}-3\beta $的值是（A）
A.15
B.3
C.-3
D.-15

答案： A

[变式]已知$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-x-2025=0$的两个实数根,则代数式$x_{1}^{3}-2025x_{1}+x_{2}^{2}$的值是（A）
A.4051
B.4050
C.2025
D.1

答案： 【解析】：因为$x_{1}$是方程$x^{2}-x - 2025 = 0$的根，所以$x_{1}^{2}-x_{1}-2025 = 0$，即$x_{1}^{2}=x_{1}+2025$，$x_{1}^{2}-2025 = x_{1}$。
那么$x_{1}^{3}=x_{1}\cdot x_{1}^{2}=x_{1}(x_{1}+2025)=x_{1}^{2}+2025x_{1}=x_{1}+2025 + 2025x_{1}=2026x_{1}+2025$。
又因为$x_{1}$，$x_{2}$是方程$x^{2}-x - 2025 = 0$的两个实数根，根据韦达定理可知$x_{1}+x_{2}=-\frac{-1}{1}=1$。
所以$x_{1}^{3}-2025x_{1}+x_{2}^{2}=2026x_{1}+2025 - 2025x_{1}+x_{2}^{2}=x_{1}+2025 + x_{2}^{2}$。
因为$x_{2}$是方程$x^{2}-x - 2025 = 0$的根，所以$x_{2}^{2}=x_{2}+2025$。
则$x_{1}+2025 + x_{2}^{2}=x_{1}+2025 + x_{2}+2025=(x_{1}+x_{2})+4050$。
把$x_{1}+x_{2}=1$代入上式得：$1 + 4050 = 4051$。
【答案】：A

13.若实数a,b分别满足$a^{2}-3a+2=0,b^{2}-3b+2=0$,且$a≠b$,则$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}=$$\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{3}{2}$

14.(2024·六安金安区期末)已知关于x的一元二次方程$2x^{2}-4x+k-1=0$有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若此方程的两个根分别为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1},x_{2}$为矩形两对角线的长,求k的值;
(3)若k为正整数,且此方程的两个根分别为$x_{1},x_{2}$,求$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\frac {1}{x_{1}x_{2}}.$

答案： 【解析】：
(1)对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$2x^{2}-4x + k - 1 = 0$中，$a = 2$，$b=-4$，$c = k - 1$。
因为方程有实数根，所以$\Delta\geqslant0$，即$(-4)^{2}-4\times2\times(k - 1)\geqslant0$。
展开式子得$16-8(k - 1)\geqslant0$，
$16-8k + 8\geqslant0$，
$24-8k\geqslant0$，
移项得$8k\leqslant24$，
解得$k\leqslant3$。
(2)因为$x_{1}$，$x_{2}$为矩形两对角线的长，而矩形的对角线相等，所以$x_{1}=x_{2}$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根。
由
(1)可知$\Delta=(-4)^{2}-4\times2\times(k - 1)=0$，
即$16-8(k - 1)=0$，
$16-8k + 8 = 0$，
$24-8k = 0$，
$8k=24$，
解得$k = 3$。
(3)由韦达定理可知，在一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$中，$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
对于方程$2x^{2}-4x + k - 1 = 0$，$x_{1}+x_{2}=-\frac{-4}{2}=2$，$x_{1}x_{2}=\frac{k - 1}{2}$。
因为$k$为正整数且$k\leqslant3$，所以$k = 1$，$2$，$3$。
当$k = 1$时，$x_{1}x_{2}=\frac{1 - 1}{2}=0$（分母不能为$0$，舍去）。
当$k = 2$时，$x_{1}x_{2}=\frac{2 - 1}{2}=\frac{1}{2}$。
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2^{2}-2\times\frac{1}{2}=4 - 1 = 3$。
则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\frac{1}{x_{1}x_{2}}=3+\frac{1}{\frac{1}{2}}=3 + 2=5$。
当$k = 3$时，$x_{1}x_{2}=\frac{3 - 1}{2}=1$。
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2^{2}-2\times1=4 - 2 = 2$。
则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\frac{1}{x_{1}x_{2}}=2 + 1=3$。
【答案】：
(1)$k\leqslant3$；
(2)$k = 3$；
(3)当$k = 2$时，值为$5$；当$k = 3$时，值为$3$。

15.已知$m+\frac {1}{m}=n+\frac {1}{n}=-4$,求$m(n+1)+n$的值.

答案： 【解析】：
因为$m+\frac{1}{m}=n + \frac{1}{n}=-4$，所以$m$、$n$是方程$x+\frac{1}{x}=-4$的两个根。
将方程$x+\frac{1}{x}=-4$两边同时乘以$x$（$x\neq0$），得到$x^{2}+4x + 1 = 0$。
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，两根$x_1$，$x_2$有$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}+4x + 1 = 0$中，$a = 1$，$b = 4$，$c = 1$，所以$m + n=-4$，$mn = 1$。
对$m(n + 1)+n$进行化简：
$m(n + 1)+n=mn+m + n$
把$m + n=-4$，$mn = 1$代入上式可得：
$mn+m + n=1+(-4)=-3$。
【答案】：$-3$