《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如图，抛物线 $ y = ax ^ { 2 } + bx + 4 $ 交 $ x $ 轴于点 $ A ( - 3, 0 ) $，$ B ( 4, 0 ) $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，连接 $ AC $，$ BC $。$ M $ 为线段 $ OB $ 上的一个动点，过点 $ M $ 作 $ PM \perp x $ 轴，交抛物线于点 $ P $，交 $ BC $ 于点 $ Q $。
(1) 求该抛物线对应的函数解析式；
(2) 设点 $ M $ 的坐标为 $ ( m, 0 ) $，请用含 $ m $ 的代数式表示线段 $ PQ $ 的长，并求出当 $ m $ 为何值时，$ PQ $ 的长度有最大值，最大值是多少；
(3) 过点 $ P $ 作 $ PN \perp BC $，垂足为 $ N $，求 $ PN $ 的长度的最大值。

答案：
(1)$y=-\frac {1}{3}x^{2}+\frac {1}{3}x+4$
(2)$PQ=-\frac {1}{3}(m-2)^{2}+\frac {4}{3}$.当$m=2$时，$PQ$的长度取得最大值，最大值为$\frac {4}{3}$
(3)$PN$的长度的最大值为$\frac {2\sqrt {2}}{3}$

2. (2024·合肥模拟预测) 如图，在平面直角坐标系中，直线 $ y = kx $ 与抛物线 $ y = ax ^ { 2 } + c $ 交于 $ A ( 8, 6 ) $，$ B $ 两点，点 $ B $ 的横坐标为 $ - 2 $。
(1) 求直线 $ AB $ 和抛物线的解析式。
(2) $ P $ 是直线 $ AB $ 下方的抛物线上的一个动点 (不与点 $ A $，$ B $ 重合)，过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的平行线，与直线 $ AB $ 交于点 $ C $，连接 $ PO $，设点 $ P $ 的横坐标为 $ m $。
① 若点 $ P $ 在 $ x $ 轴的上方，则当 $ m $ 为何值时，$ \triangle POC $ 是等腰三角形？
② 若点 $ P $ 在 $ x $ 轴的下方，设 $ \triangle POC $ 的周长为 $ l $，求 $ l $ 关于 $ m $ 的函数解析式，并求当 $ m $ 为何值时，$ \triangle POC $ 的周长最大，最大值是多少。

答案：
(1)直线$AB$对应的函数解析式为$y=\frac {3}{4}x$；抛物线对应的函数解析式为$y=\frac {1}{8}x^{2}-2$
(2)①当$m=\frac {4+4\sqrt {10}}{3}$时，$\triangle POC$是等腰三角形
②$l=-\frac {1}{4}(m-2)^{2}+9$.当$m=2$时，$\triangle POC$的周长最大，最大值是9