《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1. 用配方法把下列二次函数化成$y = a(x - h)^{2}+k$的形式.
(1)$y = x^{2}+4x + 3$；
(2)$y = 3 - 4x - 2x^{2}$.

答案： 【解析】：
（1）对于$y = x^{2}+4x + 3$，
第一步，在$x^{2}+4x$中加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{4}{2})^2 = 4$，为了保持等式相等，再减去$4$，可得：
$y=x^{2}+4x + 4 - 4+3$。
第二步，根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，$x^{2}+4x + 4=(x + 2)^{2}$，则$y=(x + 2)^{2}-1$。
（2）对于$y = 3 - 4x - 2x^{2}$，
第一步，先提出二次项系数$-2$，得到$y=-2(x^{2}+2x)+3$。
第二步，在$x^{2}+2x$中加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{2}{2})^2 = 1$，为了保持等式相等，在括号外要减去$-2\times1=-2$，可得：
$y=-2(x^{2}+2x + 1-1)+3$。
第三步，根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，$x^{2}+2x + 1=(x + 1)^{2}$，则$y=-2[(x + 1)^{2}-1]+3$。
第四步，去括号得$y=-2(x + 1)^{2}+2 + 3$，即$y=-2(x + 1)^{2}+5$。
【答案】：（1）$y=(x + 2)^{2}-1$；（2）$y=-2(x + 1)^{2}+5$

2. 二次函数$y = x^{2}+2x + 1$的图象可能是（D）

答案： D

3. 关于二次函数$y = 2x^{2}+4x - 1$，下列说法正确的是（B）
A. 函数图象与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$
B. 函数图象的对称轴在$y$轴的左侧
C. 当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小
D. 函数图象开口向下

答案： B

4. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a$，$b$，$c$为常数，且$a\neq0$）中的$x$与$y$的部分对应值如下表，该函数的图象的对称轴是（C）
A. $x = 3$
B. $x = 2$
C. $x = 1.5$
D. $x = 1$

答案： C

5. 若二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}+2x + k$的最大值是$4$，则$k$的值为2.

答案： $2$

6. 已知二次函数$y = -x^{2}-2x + 3$.
(1) 在下面的坐标系中利用描点法画出此函数的图象，并描述该函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标.
(2) 当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而减小？
(3) 当$x$取何值时，$y$有最大值（或最小值）？

答案： 【解析】：
(1) 对于二次函数$y = -x^{2}-2x + 3$，先将其化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^{2}-2x + 3\\&=-(x^{2}+2x)+3\\&=-(x^{2}+2x + 1 - 1)+3\\&=-(x + 1)^{2}+4\end{aligned}$
列表：
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $0$ | $3$ | $4$ | $3$ | $0$ |
根据列表描点、连线画出函数图象。
因为$a=-1\lt0$，所以函数图象开口向下；对称轴为直线$x = -1$；顶点坐标为$(-1,4)$。
(2) 因为函数图象开口向下，对称轴为直线$x = -1$，所以当$x\geq -1$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 因为函数图象开口向下，所以当$x = -1$时，$y$有最大值，$y_{max}=4$。
【答案】：
(1) 图象开口向下，对称轴为直线$x = -1$，顶点坐标为$(-1,4)$。
(2) $x\geq -1$。
(3) 当$x = -1$时，$y$有最大值。

7. （2025·芜湖镜湖区月考）将二次函数$y = x^{2}-2x - 3$的图象先向右平移$1$个单位长度，再向上平移$2$个单位长度，得到二次函数$y_{1}$的图象，则函数$y_{1}$的解析式是（D）
A. $y_{1}=x^{2}-6$
B. $y_{1}=x^{2}-2$
C. $y_{1}=x^{2}-4x - 2$
D. $y_{1}=x^{2}-4x + 2$

答案： D

[变式] 将抛物线$y = -x^{2}-4x - 5$的顶点的横坐标加$1$、纵坐标减$2$，得到的抛物线对应的函数解析式为$y = -x^{2}-2x - 4$.

答案： $y = -x^{2}-2x - 4$

8. 把二次函数$y = x^{2}+2x + 3$的图象先向左平移$m$个单位长度，再向下平移$n$个单位长度，得到二次函数$y = x^{2}+4x + 5$的图象，则$m + n =$2.

答案： $2$