《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

5. 如图，利用围墙的一边和一根长为13m的铁丝围成一个面积为20m²的矩形，求这个矩形中与围墙平行的一边的长度.如果设与围墙平行的一边的长度为x m，那么可列方程为（B）
A. $ x(13 - x) = 20 $
B. $ \frac{x}{2}(13 - x) = 20 $
C. $ x(13 - \frac{1}{2}x) = 20 $
D. $ \frac{x}{2}(13 - 2x) = 20 $

答案： B

6. 如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）.
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m²的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.

[变式]在第6题中，若外墙的长度为36m，其他条件不变，则当羊圈的长和宽分别为__________时，能围成一个面积为640m²的羊圈.

答案： 【解析】：（1）设$AB = x$米，则$BC=(70 + 2 - 2x)$米，根据矩形面积公式$S = AB× BC$，可列方程$x(70 + 2 - 2x)=640$，即$x(72 - 2x)=640$，化简为$-2x^{2}+72x - 640 = 0$，两边同时除以$-2$得$x^{2}-36x + 320 = 0$，分解因式$(x - 16)(x - 20)=0$，解得$x_{1}=16$，$x_{2}=20$。当$x = 16$时，$BC = 72-2×16 = 40$；当$x = 20$时，$BC = 72 - 2×20 = 32$。（2）设$AB = y$米，则$BC=(70 + 2 - 2y)$米，面积$S=y(72 - 2y)=-2y^{2}+72y$，对于二次函数$S=-2y^{2}+72y$，其对称轴为$y =-\frac{72}{2×(-2)} = 18$，当$y = 18$时，$S_{max}=-2×18^{2}+72×18=-2×324 + 1296 = 648\lt650$。【答案】：（1）当长为$40$米，宽为$16$米或长为$32$米，宽为$20$米时，能围成面积为$640m^{2}$的羊圈。（2）羊圈的面积不能达到$650m^{2}$。
@@32 m，20 m

7. 某地政府准备在如图所示的宽为25米的矩形地块ABCD上建一所学校，设计要求将该矩形地块分成甲、乙、丙三部分，甲、乙地块恰好均为正方形，丙地块为矩形，已知甲地块为教学区，丙地块为行政办公场区，乙地块为学生活动区.若丙地块的面积为30平方米，求矩形地块ABCD的长.设矩形地块ABCD的长为x米.根据题意列方程正确的是（B）

A. $ 25x - 25^2 = 30 $
B. $ (x - 25)[25 - (x - 25)] = 30 $
C. $ 25x - 30 = (x - 25)^2 $
D. $ x(25 - x) = 30 $

答案： B

8. 如图，在$ \triangle ABC $中，$ \angle B = 90^\circ $，$ AB = 6cm $，$ BC = 8cm $，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AB向点B移动，与此同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿边BC向点C移动.当点Q运动到点C时，两点停止运动.
（1）经过多长时间，$ \triangle PBQ $的面积等于8cm²？
（2）$ \triangle PBQ $的面积会等于$ \triangle ABC $面积的一半吗？若会，请求出此时两点运动的时间；若不会，请说明理由.

答案： 【解析】：
（1）设经过$x$秒，$\triangle PBQ$的面积等于$8cm^{2}$。
已知$AP = x cm$，$BQ = 2x cm$，则$PB=(6 - x)cm$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a = PB$，$h = BQ$），可得$\frac{1}{2}(6 - x)\times2x = 8$。
化简得$6x - x^{2}=8$，即$x^{2}-6x + 8 = 0$。
因式分解为$(x - 2)(x - 4)=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=4$。
当$x = 2$时，$BQ=2\times2 = 4cm\lt8cm$；当$x = 4$时，$BQ=2\times4 = 8cm$，均符合题意。
（2）$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times BC=\frac{1}{2}\times6\times8 = 24cm^{2}$。
若$\triangle PBQ$的面积等于$\triangle ABC$面积的一半，即$\frac{1}{2}(6 - x)\times2x=\frac{1}{2}\times24$。
化简得$6x - x^{2}=12$，即$x^{2}-6x + 12 = 0$。
此时$\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4\times1\times12=36 - 48=-12\lt0$，方程无实数根。
【答案】：
（1）$2$秒或$4$秒；
（2）不会，理由：方程$x^{2}-6x + 12 = 0$无实数根。