《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

6.如图,在$\text{Rt}\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle A=60^{\circ}$,$AC=2$,将$\triangle ABC$绕点$C$按逆时针方向旋转得到$\triangle A'B'C$,此时点$A'$恰好在边$AB$上,则点$B'$与点$B$之间的距离为(C)
A.2
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： C

7.如图,在正方形$ABCD$中,$AB=4$,$E$为$AB$的中点,连接$DE$,将$\triangle DAE$绕点$D$按逆时针方向旋转$90^{\circ}$得到$\triangle DCF$,连接$EF$,则$EF$的长为$2\sqrt{10}$.

答案： $2\sqrt{10}$

8.(2024·合肥四十五中一模)如图,在$\text{Rt}\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle ABC=60^{\circ}$,$AB=4$,$M$是$AB$的中点,$D$是射线$BC$上的一个动点,以$AD$为一边向右构造等边三角形$ADE$,连接$EM$.
(1)当点$D$与点$B$重合时,$EM$的长度为$2\sqrt{3}$;
(2)在点$D$的运动过程中,$EM$长度的最小值为$\sqrt{3}$.

答案：
(1) $2\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{3}$

9.(2025·淮南凤台期中)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,将$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转得到$\triangle DEC$,使得点$B$的对应点$E$恰好落在边$AC$上,点$A$的对应点为点$D$,延长$DE$交$AB$于点$F$,连接$AD$.
(1)若$\angle BAC=30^{\circ}$,$BC=1$,求线段$AD$的长;
(2)求证:$AB\perp DF$.

答案： 【解析】：
### $(1)$求线段$AD$的长
- 已知在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle BAC = 30^{\circ}$，$BC = 1$。
根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，可得$AB = 2BC = 2$。
再根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
- 因为$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转得到$\triangle DEC$，所以$CD = CA=\sqrt{3}$，$\angle ACD=\angle ACB = 90^{\circ}$。
- 在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{6}$。
### $(2)$证明$AB\perp DF$
- 因为$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转得到$\triangle DEC$，所以$\angle DEC=\angle B$。
- 又因为$\angle AEF=\angle DEC$（对顶角相等），所以$\angle AEF=\angle B$。
- 在$\triangle ABC$中，$\angle B+\angle BAC = 90^{\circ}$，则$\angle AEF+\angle BAC = 90^{\circ}$。
- 在$\triangle AEF$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle AFE=180^{\circ}-(\angle AEF+\angle BAC)=90^{\circ}$，即$AB\perp DF$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{\sqrt{6}}$；$(2)$证明过程如上述解析。

10.如图,在四边形$ABCD$中,$\angle BAD\neq90^{\circ}$,$AB=AD$,$\angle B+\angle D=180^{\circ}$,点$E$,$F$分别在边$BC$,$CD$上,则当$\angle EAF$与$\angle BAD$满足什么关系时,有$EF=BE+FD$?请说明理由.

答案：
【解析】：
延长$CB$至点$M$，使$BM = DF$，连接$AM$。
因为$\angle ABC+\angle D = 180^{\circ}$，$\angle ABC+\angle ABM = 180^{\circ}$，所以$\angle ABM=\angle D$。
又因为$AB = AD$，$BM = DF$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABM\cong\triangle ADF$。
所以$AM = AF$，$\angle BAM=\angle DAF$。
则$\angle BAM+\angle BAF=\angle DAF+\angle BAF$，即$\angle MAF=\angle BAD$。
当$\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$时，$\angle EAF=\frac{1}{2}\angle MAF$，所以$\angle EAF=\angle EAM$。
又因为$AE = AE$，$AM = AF$，根据$SAS$定理可得$\triangle AEM\cong\triangle AEF$。
所以$EF = EM$，而$EM = BE + BM = BE + FD$，所以$EF = BE + FD$。
【答案】：
当$\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$时，有$EF = BE + FD$。