《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

9.(2025·安庆迎江区月考)若抛物线$y=2(x-m-1)^{2}+2m+4$的顶点在第二象限,则m的取值范围是 (D)
A.$m＞1$
B.$m＜2$
C.$1＜m＜2$
D.$-2＜m＜-1$

答案： D

10.已知抛物线$y=-3(x-2)^{2}+5$.若$-1≤x≤1$,则下列说法正确的是 (B)
A.当$x=0$时,y有最大值-7
B.当$x=-1$时,y有最小值-22
C.当$x=-1$时,y有最大值-22
D.当$x=1$时,y有最小值2

答案： B

11.(2024·合肥四十六中期末)已知关于x的二次函数$y=(x+3)^{2}-4$的图象上有$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$两点,$x_{1}＜x_{2}$,且$x_{1}+8=-x_{2}$,则$y_{1}$与$y_{2}$的大小关系是 (B)
A.$y_{1}＜y_{2}$
B.$y_{1}＞y_{2}$
C.$y_{1}=y_{2}$
D.$y_{1}+8=-y_{2}$

答案： B

[变式]点$A(m-1,y_{1}),B(m,y_{2})$都在抛物线$y=-2(x-1)^{2}+k$上.若$y_{1}＞y_{2}$,则m的取值范围为 (D)
A.$m≥2$
B.$m＞\frac{3}{2}$
C.$m≤1$
D.$\frac{3}{2}＜m＜2$

答案： D

12.在二次函数$y=-(x+a)^{2}+2$的图象中,当$x≤-1$时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是$a\leq1$.

答案： $a\leq1$

13.(教材P36例4变式)某公园的喷水池的中央有一垂直于地面的喷水柱,喷嘴A喷水时,水流在各方向沿形状相同的抛物线落下,如图所示.水流喷出的高度$y(m)$与水平距离$x(m)$之间的函数解析式为$y=-(x-1)^{2}+2.25$.
(1)求喷出的水流离地面的最大高度;
(2)求喷嘴A离地面的高度;
(3)如果把喷水池改成圆形,那么水池半径至少为多少时,才能使喷出的水流不落在水池外?

答案： 【解析】：
(1)对于二次函数$y = a(x - h)^2 + k$（$a\neq0$），当$a\lt0$时，抛物线开口向下，顶点坐标为$(h,k)$，函数在$x = h$处取得最大值$k$。
在函数$y=-(x - 1)^2 + 2.25$中，$a=-1\lt0$，$h = 1$，$k = 2.25$，所以当$x = 1$时，$y$有最大值$2.25$。
即喷出的水流离地面的最大高度是$2.25m$。
(2)求喷嘴$A$离地面的高度，即求$x = 0$时$y$的值。
把$x = 0$代入$y=-(x - 1)^2 + 2.25$得：
$y=-(0 - 1)^2 + 2.25=-1 + 2.25 = 1.25$
所以喷嘴$A$离地面的高度是$1.25m$。
(3)求水池半径至少为多少时，水流不落在水池外，即求$y = 0$时$x$的值（取正值）。
令$y = 0$，则$0=-(x - 1)^2 + 2.25$
$(x - 1)^2 = 2.25$
$x - 1=\pm1.5$
当$x - 1 = 1.5$时，$x = 2.5$；当$x - 1=-1.5$时，$x=-0.5$（舍去）。
所以水池半径至少为$2.5m$时，才能使喷出的水流不落在水池外。
【答案】：
(1)$2.25m$
(2)$1.25m$
(3)$2.5m$

14.(2025·阜阳月考)已知二次函数$y=\frac{1}{3}(x-3n)^{2}+4-2n$.
(1)求证:不论n取何值,抛物线的顶点始终在一条直线上.
(2)若点$A(b+2,a),B(6n+b-4,a)$都在此二次函数的图象上,求证:$a≥\frac{5}{3}$.

答案： 【解析】：
(1) 对于二次函数$y = \frac{1}{3}(x - 3n)^{2}+4 - 2n$，其顶点坐标为$(3n,4 - 2n)$。
设顶点坐标$(x,y)$，则$x = 3n$，$y = 4 - 2n$。
由$x = 3n$可得$n=\frac{x}{3}$，将$n=\frac{x}{3}$代入$y = 4 - 2n$中，得到$y = 4-2\times\frac{x}{3}$，即$y =-\frac{2}{3}x + 4$。
所以不论$n$取何值，抛物线的顶点始终在直线$y =-\frac{2}{3}x + 4$上。
(2) 因为点$A(b + 2,a)$，$B(6n + b-4,a)$的纵坐标相同，所以$A$、$B$关于对称轴对称。
对于二次函数$y=\frac{1}{3}(x - 3n)^{2}+4 - 2n$，其对称轴为直线$x = 3n$。
根据对称轴性质可得$\frac{(b + 2)+(6n + b-4)}{2}=3n$，
$\frac{2b+6n - 2}{2}=3n$，$b + 3n-1 = 3n$，解得$b = 1$。
所以点$A(3,a)$，把$x = 3$代入二次函数$y=\frac{1}{3}(x - 3n)^{2}+4 - 2n$中，
$a=\frac{1}{3}(3 - 3n)^{2}+4 - 2n=\frac{1}{3}(9 - 18n+9n^{2})+4 - 2n$
$=3 - 6n + 3n^{2}+4 - 2n=3n^{2}-8n + 7$。
对于二次函数$y = 3n^{2}-8n + 7$，其中$A = 3\gt0$，图象开口向上，
根据二次函数顶点纵坐标公式$y=\frac{4AC - B^{2}}{4A}$（这里$A = 3$，$B=-8$，$C = 7$），
$y=\frac{4\times3\times7-(-8)^{2}}{4\times3}=\frac{84 - 64}{12}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$。
所以$a\geq\frac{5}{3}$。
【答案】：
(1) 设顶点坐标$(x,y)$，由二次函数顶点坐标为$(3n,4 - 2n)$，可得$x = 3n$，$y = 4 - 2n$，消去$n$得$y=-\frac{2}{3}x + 4$，所以不论$n$取何值，抛物线顶点始终在直线$y =-\frac{2}{3}x + 4$上；
(2) 先根据$A$、$B$纵坐标相同求出$b = 1$，得到$A(3,a)$，代入函数得$a = 3n^{2}-8n + 7$，由二次函数性质可得$a\geq\frac{5}{3}$。