《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

9.（2025·合肥庐阳区期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，将△PAC绕点A逆时针旋转，得到△P'AB，连接PP'.
（1）求PP'的长度；
（2）求∠APB的度数.

答案： 【解析】：
（1）因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle BAC = 60^{\circ}$。
由旋转的性质可知：$\triangle PAC\cong\triangle P'AB$，所以$AP = AP'$，$\angle PAC=\angle P'AB$。
那么$\angle P'AB+\angle BAP=\angle PAC+\angle BAP=\angle BAC = 60^{\circ}$，即$\angle PAP' = 60^{\circ}$。
又因为$AP = AP'$，所以$\triangle APP'$是等边三角形，所以$PP' = AP = 6$。
（2）由旋转的性质可知：$P'B = PC = 10$。
在$\triangle P'PB$中，$P'B = 10$，$PB = 8$，$PP' = 6$。
因为$6^{2}+8^{2}=10^{2}$，即$PP'^{2}+PB^{2}=P'B^{2}$，所以$\triangle P'PB$是直角三角形，且$\angle P'PB = 90^{\circ}$。
又因为$\triangle APP'$是等边三角形，所以$\angle APP' = 60^{\circ}$。
所以$\angle APB=\angle APP'+\angle P'PB=60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ}$。
【答案】：
（1）$6$；
（2）$150^{\circ}$。

10.【分类讨论思想】在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°.若△ABC绕点A旋转30°后与△AB₁C₁重合，则∠BAC₁的度数为$45^{\circ}$或$105^{\circ}$.

答案： $45^{\circ}$或$105^{\circ}$

11.如图，在△ABC中，AB=AC.若M是边BC上的任意一点，连接AM，将△ABM绕点A逆时针旋转，得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（B）
A.AB=AN
B.AB//NC
C.∠AMN=∠ACN
D.MN⊥AC

答案： B

12.【转化思想】如图，将边长为√3 cm的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°后得到正方形AB'C'D'，则图中阴影部分的面积为$3 - \sqrt{3}$cm².

答案： $3 - \sqrt{3}$

13.（教材P63习题T10变式）如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB=3，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长.

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$\triangle AEC\cong\triangle ADB$
- 已知$\triangle ABC$绕点$A$顺时针旋转得到$\triangle ADE$，根据旋转的性质可知：
$AB = AC = AD = AE$，$\angle BAC=\angle DAE$。
那么$\angle BAC+\angle BAE=\angle DAE+\angle BAE$，即$\angle CAE=\angle DAB$。
- 在$\triangle AEC$和$\triangle ADB$中：
$\begin{cases}AE = AD\\\angle CAE=\angle DAB\\AC = AB\end{cases}$
根据全等三角形判定定理中的“边角边”（$SAS$），可得$\triangle AEC\cong\triangle ADB$。
### $(2)$ 求$BF$的长
- 因为四边形$ADFC$是菱形，所以$DF = AC = AB = 3$，$AC// DF$。
- 由$AC// DF$可得$\angle ABD=\angle BAC = 45^{\circ}$。
- 又因为$AD = AB = 3$，所以$\angle ABD=\angle ADB = 45^{\circ}$。
- 则$\angle BAD = 180^{\circ}-\angle ABD - \angle ADB=180^{\circ}- 45^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}$。
- 在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}$，把$AB = AD = 3$代入可得：
$BD=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{9 + 9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
- 所以$BF = BD - DF=3\sqrt{2}-3$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{3\sqrt{2}-3}$

14.如图，等边三角形ABC的边长为4，P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，D是边AC的中点，连接DQ，则DQ的最小值是$\sqrt{3}$.

答案： $\sqrt{3}$