《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

9.如图，A，B是$\odot O$上的两点，C是$\odot O$上不与点A，B重合的任意一点.如果$∠AOB=130^{\circ }$，那么$∠ACB$的度数为（D）
A.$65^{\circ }$
B.$115^{\circ }$
C.$65^{\circ }$或$130^{\circ }$
D.$65^{\circ }$或$115^{\circ }$

答案： D

10.如图，在平面直角坐标系中，$\odot C$过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为$(0,3)$，M是第三象限内$\odot C$上的一点，$∠BMO=120^{\circ }$，则圆心C的坐标为______$(-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$.

答案： $(-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$

11.如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形.若$∠ADC=150^{\circ }$，$AC=2$，则$\odot O$的半径为______.

2

答案： $2$

12.【整体思想】如图，点A，B，C，D，E在$\odot O$上，且$\overset{\frown }{AB}$对应的圆心角的度数为$50^{\circ }$，则$∠E+∠C=$155$^{\circ }$.

答案： $155$

13.如图，圆的内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分$∠ABC$，$∠BAC=∠ADB$.
（1）求证：DB平分$∠ADC$，并求$∠BAD$的度数；
（2）过点C作$CF// AD$交AB的延长线于点F，若$AC=AD$，$BF=2$，求此圆半径的长度.

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$DB$平分$\angle ADC$并求$\angle BAD$的度数
- **步骤一：证明$DB$平分$\angle ADC$**
已知$BD$平分$\angle ABC$，则$\angle ABD=\angle CBD$。
因为同弧所对的圆周角相等，$\angle ABD$与$\angle ACD$，$\angle CBD$与$\angle CAD$分别是同弧所对的圆周角，所以$\angle ABD = \angle ACD$，$\angle CBD=\angle CAD$，那么$\angle ACD=\angle CAD$。
又因为$\angle BAC=\angle ADB$，$\angle BAC$与$\angle BDC$是同弧所对的圆周角，所以$\angle BAC=\angle BDC$，而$\angle BAC=\angle ADB$，所以$\angle ADB=\angle BDC$，即$DB$平分$\angle ADC$。
**步骤二：求$\angle BAD$的度数**
因为$\angle ABD=\angle ACD$，$\angle CBD=\angle CAD$，$\angle ADB=\angle BDC$，设$\angle ABD=\angle CBD = x$，$\angle ADB=\angle BDC = y$。
在$\triangle ABD$中，$\angle BAD=180^{\circ}-(x + y)$。
因为四边形$ABCD$是圆内接四边形，$\angle ABC + \angle ADC=180^{\circ}$，即$2x + 2y=180^{\circ}$，$x + y = 90^{\circ}$。
所以$\angle BAD=90^{\circ}$。
### $(2)$ 求圆半径的长度
**步骤一：证明$\triangle ABC\cong\triangle DBC$**
因为$DB$平分$\angle ABC$，$DB$平分$\angle ADC$，$BD = BD$，根据$ASA$（两角及其夹边对应相等的三角形全等）可得$\triangle ABD\cong\triangle CBD$，所以$AB = CB$。
**步骤二：证明$\triangle ABC$是等边三角形**
因为$AC = AD$，$\angle ADB=\angle BDC$，$DE = DE$，根据$SAS$（两边及其夹角对应相等的三角形全等）可得$\triangle ADE\cong\triangle CDE$，所以$\angle DAE=\angle DCE$。
又因为$\angle BAC=\angle BDC$，$\angle ADB=\angle BDC$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，$\angle BAC=\angle CAD$，所以$\angle BAC=\angle CAD = 45^{\circ}$。
因为$AB = CB$，$\angle ABC = 2\angle ABD$，$\angle BAC=\angle BDC$，$\angle ADB=\angle BDC$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，可得$\angle ABC=60^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等边三角形。
**步骤三：求圆半径的长度**
因为$CF// AD$，所以$\angle FCB=\angle CAD$，$\angle FBC=\angle BAD$。
又因为$\angle BAC=\angle CAD = 45^{\circ}$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle FCB = 45^{\circ}$，$\angle FBC = 90^{\circ}$，则$\triangle FBC$是等腰直角三角形。
已知$BF = 2$，根据等腰直角三角形性质，$BC = 2\sqrt{2}$。
因为$\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$BD$是圆的直径。
又因为$\triangle ABC$是等边三角形，$\angle BDC=\angle BAC = 60^{\circ}$，$\angle BCD = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角），在$Rt\triangle BCD$中，$\sin\angle BDC=\frac{BC}{BD}$，$\angle BDC = 60^{\circ}$，$BC = 2\sqrt{2}$，则$BD=\frac{BC}{\sin60^{\circ}}=\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$，所以圆半径$R=\frac{BD}{2}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。
【答案】：
$(1)$ 证明见上述解析，$\angle BAD = 90^{\circ}$；$(2)$ 此圆半径的长度为$\boldsymbol{\frac{2\sqrt{6}}{3}}$。

14.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AC是$\odot O$的直径，$AB=BC$，连接OD，BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且$∠EDA=∠ACD$.
（1）求$∠EDO$的度数；
（2）若$AD=3$，$CD=4$，求AB，BD的长；
（3）若$AD=a$，$CD=b$，直接写出BD的长.

答案： 【解析】：
（1）
因为$AC$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$。
又因为$OA = OD$，所以$\angle CAD=\angle ODA$。
已知$\angle EDA=\angle ACD$，则$\angle EDA+\angle ODA=\angle ACD + \angle CAD=90^{\circ}$，即$\angle EDO = 90^{\circ}$。
（2）
在$Rt\triangle ADC$中，$AD = 3$，$CD = 4$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。
因为$AB = BC$，$AC$是直径，所以$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle BAC=\angle BCA = 45^{\circ}$，$AB = BC=\frac{\sqrt{2}}{2}AC=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
将$\triangle ABD$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ACF$，则$BD = CF$，$\angle DAF = 90^{\circ}$，$AD = AF = 3$。
因为$\angle EDA=\angle ACD$，$\angle ACD=\angle ABD$（同弧所对的圆周角相等），$\angle EDA+\angle ADC+\angle CDF=180^{\circ}$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\angle EDA+\angle CDF = 90^{\circ}$，即$\angle ABD+\angle CDF = 90^{\circ}$。
又因为$\angle ABD=\angle ACF$，所以$\angle ACF+\angle CDF = 90^{\circ}$，$\angle DCF = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle DCF$中，$DF=\sqrt{AD^{2}+AF^{2}}=\sqrt{3^{2}+3^{2}} = 3\sqrt{2}$，$CD = 4$，根据勾股定理$CF=\sqrt{CD^{2}+DF^{2}}=\sqrt{4^{2}+(3\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{16 + 18}=\sqrt{34}$，所以$BD=\sqrt{34}$。
（3）
将$\triangle ABD$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ACF$，则$BD = CF$，$\angle DAF = 90^{\circ}$，$AD = AF=a$。
$DF=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2}a$，$\angle DCF = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle DCF$中，根据勾股定理$CF=\sqrt{CD^{2}+DF^{2}}=\sqrt{b^{2}+2a^{2}}$，所以$BD=\sqrt{2a^{2}+b^{2}}$。
【答案】：
（1）$90^{\circ}$
（2）$AB=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$BD=\sqrt{34}$
（3）$\sqrt{2a^{2}+b^{2}}$