《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

10.有下列说法：①同弧（或等弧）所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧相等；③圆中$90^{\circ}$的角所对的弦是直径；④圆周角的度数等于圆心角度数的一半.其中正确的有 （A）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： A

11.如图，在$\odot O$中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若$∠ABC=19^{\circ}$，则$∠BAC$的度数为 （D）

A.$23^{\circ}$
B.$24^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$26^{\circ}$

答案： D

12.如图，点A，B，C在半径为2的$\odot O$上，$∠ACB=60^{\circ}$，$OD⊥AB$，垂足为E，交$\odot O$于点D，连接OA，则OE的长为1.

答案： $1$

13.（2025·阜阳太和期中）如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上的点，且$OC// BD$，AD分别与BC，OC交于点E，F.
（1）求证：BC平分$∠ABD$；
（2）若$AB=4\sqrt{5}$，$AD=8$，求CF的长.

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$BC$平分$\angle ABD$
已知$OC// BD$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle OCB = \angle CBD$。
因为$OC = OB$（同圆半径相等），所以$\angle OCB = \angle OBC$。
通过等量代换，可得$\angle OBC = \angle CBD$，即$BC$平分$\angle ABD$。
### $(2)$ 求$CF$的长
**步骤一：证明$AF = DF$且$OC\perp AD$**
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$OC// BD$，根据平行线的性质，同位角相等，可得$\angle AFO=\angle ADB = 90^{\circ}$，即$OC\perp AD$。
根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦），可得$AF = DF=\frac{1}{2}AD$。
已知$AD = 8$，所以$AF=\frac{1}{2}\times8 = 4$。
**步骤二：求$AO$的长**
已知$AB = 4\sqrt{5}$，因为$AO=\frac{1}{2}AB$（半径是直径的一半），所以$AO=\frac{1}{2}\times4\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
**步骤三：求$OF$的长**
在$Rt\triangle AOF$中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得$OF=\sqrt{AO^{2}-AF^{2}}$。
将$AO = 2\sqrt{5}$，$AF = 4$代入可得：$OF=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}-4^{2}}=\sqrt{20 - 16}=\sqrt{4}=2$。
**步骤四：求$CF$的长**
因为$CF = OC - OF$，且$OC = AO = 2\sqrt{5}$，$OF = 2$，所以$CF = 2\sqrt{5}-2$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{2\sqrt{5}-2}$

14.（教材P90习题T14变式）如图，$\odot O$的半径为1，A，P，B，C是$\odot O$上的四个点，$∠APC=∠CPB=60^{\circ}$.
（1）$\triangle ABC$的形状为等边三角形，$AB=$$\sqrt{3}$.
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明.
数量关系为$PC=PA + PB$。证明：在$PC$上截取$PD = PA$，连接$AD$。因为$\angle APC = 60^{\circ}$，所以$\triangle APD$是等边三角形，则$AD = AP$，$\angle PAD = 60^{\circ}$。又因为$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$\angle PAB = \angle DAC$。因为$AB = AC$，$AP = AD$，根据$SAS$可得$\triangle PAB\cong\triangle DAC$，所以$PB = DC$。因为$PC=PD + DC$，$PD = PA$，$DC = PB$，所以$PC=PA + PB$。
（3）当点P位于$\overset{\frown}{AB}$的什么位置时，四边形APBC的面积最大？请求出最大面积.
当点P为$\overset{\frown}{AB}$的中点时，四边形APBC的面积最大，最大面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

答案： 【解析】：
### $(1)$判断$\triangle ABC$的形状并求$AB$的长
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等。
因为$\angle ABC = \angle APC$，$\angle BAC=\angle BPC$，已知$\angle APC = \angle CPB = 60^{\circ}$，所以$\angle ABC=\angle BAC = 60^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ACB=180^{\circ}-\angle ABC - \angle BAC=180^{\circ}- 60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$。
所以$\triangle ABC$是等边三角形。
已知$\odot O$半径$r = 1$，对于等边三角形$\triangle ABC$，由正弦定理$\frac{AB}{\sin\angle ACB}=2r$（$r$为$\triangle ABC$外接圆半径），因为$\angle ACB = 60^{\circ}$，$r = 1$，则$AB = 2r\sin\angle ACB=2\times1\times\sin60^{\circ}=\sqrt{3}$。
### $(2)$探究$PA$，$PB$，$PC$之间的数量关系并证明
数量关系为$PC=PA + PB$。
证明：在$PC$上截取$PD = PA$，连接$AD$。
因为$\angle APC = 60^{\circ}$，所以$\triangle APD$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），则$AD = AP$，$\angle PAD = 60^{\circ}$。
又因为$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$\angle PAB+\angle BAD=\angle BAD+\angle DAC$，即$\angle PAB=\angle DAC$。
因为$AB = AC$（$\triangle ABC$是等边三角形），$AP = AD$，根据$SAS$（边角边）可得$\triangle PAB\cong\triangle DAC$。
所以$PB = DC$。
因为$PC=PD + DC$，$PD = PA$，$DC = PB$，所以$PC=PA + PB$。
### $(3)$求四边形$APBC$面积最大时点$P$的位置及最大面积
当点$P$为$\overset{\frown}{AB}$的中点时，四边形$APBC$的面积最大。
理由如下：
${S}_{四边形APBC}={S}_{\triangle ABC}+{S}_{\triangle ABP}$，$\triangle ABC$的面积是定值。
当$P$为$\overset{\frown}{AB}$的中点时，$P$到$AB$的距离最大，此时$\triangle ABP$的面积最大，所以四边形$APBC$的面积最大。
过点$P$作$PE\perp AB$于点$E$，过点$C$作$CF\perp AB$于点$F$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，$AB=\sqrt{3}$，由等边三角形三线合一及勾股定理可得$CF=\sqrt{AC^{2}-(\frac{AB}{2})^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\frac{3}{2}$。
因为$P$为$\overset{\frown}{AB}$中点，所以$PE = 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$（$\odot O$半径为$1$）。
${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times CF=\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\times\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，${S}_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}\times AB\times PE=\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\times\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
所以${S}_{四边形APBC}={S}_{\triangle ABC}+{S}_{\triangle ABP}=\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】：
$(1)$等边；$\sqrt{3}$
$(2)$ $PC=PA + PB$
$(3)$当点$P$为$\overset{\frown}{AB}$的中点时，四边形$APBC$面积最大，最大面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$