《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

11. 已知二次函数$y=-(x+h)^{2}$，当$x＜-2$时，$y$随着$x$的增大而增大，当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小，则$h$的值为（D）
A. -4
B. -2
C. 4
D. 2

答案： D；

[变式]已知二次函数$y=-2(x-h)^{2}$，当$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而增大，则$h$的值满足____.

答案：
h⩾−3

12. 若抛物线$y=2(x-1)^{2}$经过点$(m,n),(m+3,n)$，则$n$的值为()
A. $\frac {9}{2}$
B. $-\frac {9}{2}$
C. 1
D. $-\frac {1}{2}$

答案： A

如图，抛物线$y=(x-1)^{2}$与$x$轴只有一个交点$M$，与平行于$x$轴的直线$l$交于点$A,B$.若$AB=4$，则点$M$到直线$l$的距离为4.

答案： $4$

13. 已知二次函数$y=a(x+m)^{2}$的图象的顶点坐标为$(-1,0)$，且过点$A(-2,-\frac {1}{2})$.
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)求当$-3≤x≤0$时，$y$的取值范围.
(3)点$B(2,-2)$在这个函数的图象上吗？若在，证明这个结论；若不在，请通过左右平移函数图象，使函数图象过点$B$，并写出你的平移方案.

答案： 【解析】：
(1) 已知二次函数$y = a(x + m)^{2}$的顶点坐标为$(-1,0)$，对于二次函数$y=a(x - h)^{2}+k$（$a\neq0$，$(h,k)$为顶点坐标），这里$h=-m$，$k = 0$，所以$-m=-1$，解得$m = 1$，则二次函数解析式为$y=a(x + 1)^{2}$。
因为函数图象过点$A(-2,-\frac{1}{2})$，把$x=-2$，$y = -\frac{1}{2}$代入$y=a(x + 1)^{2}$得：
$-\frac{1}{2}=a(-2 + 1)^{2}$，即$-\frac{1}{2}=a\times(-1)^{2}$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
所以这个二次函数的解析式为$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^{2}$。
(2) 对于二次函数$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^{2}$，$a=-\frac{1}{2}\lt0$，所以抛物线开口向下，对称轴为$x=-1$。
当$x=-1$时，$y$有最大值，$y_{max}=-\frac{1}{2}(-1 + 1)^{2}=0$。
当$x=-3$时，$y=-\frac{1}{2}(-3 + 1)^{2}=-\frac{1}{2}\times4=-2$。
当$x = 0$时，$y=-\frac{1}{2}(0 + 1)^{2}=-\frac{1}{2}$。
因为$-2\lt-\frac{1}{2}$，所以当$-3\leq x\leq0$时，$y$的取值范围是$-2\leq y\leq0$。
(3) 把$x = 2$代入$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^{2}$得：
$y=-\frac{1}{2}(2 + 1)^{2}=-\frac{1}{2}\times9=-\frac{9}{2}\neq - 2$，所以点$B(2,-2)$不在这个函数的图象上。
设平移后的抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}(x + 1 + n)^{2}$，因为平移后图象过点$B(2,-2)$，把$x = 2$，$y=-2$代入$y=-\frac{1}{2}(x + 1 + n)^{2}$得：
$-2=-\frac{1}{2}(2 + 1 + n)^{2}$，
两边同时乘以$-2$得：$4=(3 + n)^{2}$，
则$3 + n=\pm2$。
当$3 + n = 2$时，$n=-1$；当$3 + n=-2$时，$n=-5$。
当$n=-1$时，是将原函数图象向右平移$1$个单位；当$n=-5$时，是将原函数图象向右平移$5$个单位。
【答案】：
(1)$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^{2}$；
(2)$-2\leq y\leq0$；
(3)点$B(2,-2)$不在这个函数的图象上；将原函数图象向右平移$1$个单位或向右平移$5$个单位可使函数图象过点$B$。

14. 已知二次函数$y=-(x-h)^{2}$($h$是常数)，且自变量的取值范围为$2≤x≤5$.
(1)当$h=3$时，函数的最大值为____；
(2)若函数的最大值为-1，求$h$的值.

答案： 【解析】：
(1)当$h = 3$时，二次函数为$y=-(x - 3)^{2}$，此函数图象开口向下，对称轴为直线$x = 3$。
因为自变量的取值范围为$2\leqslant x\leqslant5$，对称轴$x = 3$在这个取值范围内，所以当$x = 3$时，函数取得最大值，把$x = 3$代入$y=-(x - 3)^{2}$得$y=-(3 - 3)^{2}=0$。
(2)二次函数$y=-(x - h)^{2}$的图象开口向下，对称轴为直线$x = h$。
分三种情况讨论：
①当$h\lt2$时，在$2\leqslant x\leqslant5$这个范围内，$y$随$x$的增大而减小，所以当$x = 2$时，函数取得最大值，把$x = 2$代入$y=-(x - h)^{2}$得$-(2 - h)^{2}=-1$，即$(2 - h)^{2}=1$，则$2 - h=\pm1$。
当$2 - h = 1$时，$h = 1$；当$2 - h=-1$时，$h = 3$（因为$h\lt2$，所以舍去）。
②当$2\leqslant h\leqslant5$时，当$x = h$时，函数取得最大值，把$x = h$代入$y=-(x - h)^{2}$得$y=-(h - h)^{2}=0\neq - 1$，此种情况不符合题意。
③当$h\gt5$时，在$2\leqslant x\leqslant5$这个范围内，$y$随$x$的增大而增大，所以当$x = 5$时，函数取得最大值，把$x = 5$代入$y=-(x - h)^{2}$得$-(5 - h)^{2}=-1$，即$(5 - h)^{2}=1$，则$5 - h=\pm1$。
当$5 - h = 1$时，$h = 4$（因为$h\gt5$，所以舍去）；当$5 - h=-1$时，$h = 6$。
综上，$h$的值为$1$或$6$。
【答案】：
(1)$0$；
(2)$1$或$6$