《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如图，$\triangle ACB$为等腰直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CP = 2$，$PB = 1$，$\angle CPB = 135^{\circ}$，求$AP$的长。

答案： 【解析】：
将$\triangle CPB$绕点$C$逆时针旋转$90^{\circ}$，使$CB$与$CA$重合，得到$\triangle CDA$，连接$DP$。
因为旋转，所以$CD = CP = 2$，$AD = BP = 1$，$\angle PCD = 90^{\circ}$，$\angle CDA=\angle CPB = 135^{\circ}$。
在等腰直角$\triangle PCD$中，$\angle CPD = 45^{\circ}$，根据勾股定理可得$PD=\sqrt{CP^{2}+CD^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$。
又因为$\angle ADP=\angle CDA-\angle CPD=135^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADP$中，根据勾股定理$AP=\sqrt{AD^{2}+PD^{2}}=\sqrt{1^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{1 + 8}=3$。
【答案】：$3$

2. 如图，在边长为 8 的等边三角形$ABC$中，$D$是$AB$的中点，$E$是平面上$\triangle ABC$外的一点，且$DE = 2$，连接$BE$，将线段$EB$绕点$E$顺时针旋转$60^{\circ}$，得到线段$EF$，连接$AF$，$CE$。
(1) 判断$\triangle BEF$的形状，并说明理由；
(2) 求证：$AF = CE$。

答案： 【解析】：
(1) 因为将线段$EB$绕点$E$顺时针旋转$60^{\circ}$得到线段$EF$，所以$EB = EF$，$\angle BEF = 60^{\circ}$。根据等边三角形的判定定理：有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，所以$\triangle BEF$是等边三角形。
(2) 连接$BD$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，$D$是$AB$的中点，所以$\angle ABD = 30^{\circ}$，$AB = BC$。
因为$\triangle BEF$是等边三角形，所以$\angle EBF = 60^{\circ}$，$BF = BE$。
所以$\angle ABF=\angle ABD+\angle DBF = 30^{\circ}+\angle DBF$，$\angle CBE=\angle EBF-\angle EBC=60^{\circ}-\angle EBC$，又因为$\angle DBF=\angle EBC$，所以$\angle ABF=\angle CBE$。
在$\triangle ABF$和$\triangle CBE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CB\\\angle ABF=\angle CBE\\BF = BE\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABF\cong\triangle CBE$，所以$AF = CE$。
【答案】：
(1) $\triangle BEF$是等边三角形，理由：由旋转性质得$EB = EF$，$\angle BEF = 60^{\circ}$，根据等边三角形判定定理，有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，所以$\triangle BEF$是等边三角形。
(2) 证明过程如上述解析，通过证明$\triangle ABF\cong\triangle CBE(SAS)$，得出$AF = CE$。

3. 将边长为 4 的正方形$ABCD$与边长为$2\sqrt{2}$的正方形$CEFG$按如图 1 所示的方式摆放，连接$BG$，$DE$。
(1) 如图 1，$BG$与$DE$的关系为$BG = DE$且$BG\perp DE$。
(2) 如图 2，将正方形$CEFG$绕点$C$顺时针旋转，旋转角为$\alpha(0^{\circ} \lt \alpha \lt 360^{\circ})$，连接$DG$，$BE$，判断$DG^{2} + BE^{2}$是否为定值。若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。

是定值，$48$

答案： 【解析】：
(1) 延长$BG$交$DE$于点$H$。
因为四边形$ABCD$和四边形$CEFG$是正方形，所以$BC = CD$，$CG = CE$，$\angle BCG=\angle DCE = 90^{\circ}$。
在$\triangle BCG$和$\triangle DCE$中，$\begin{cases}BC = CD\\\angle BCG=\angle DCE\\CG = CE\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle BCG\cong\triangle DCE$。
所以$BG = DE$，$\angle CBG=\angle CDE$。
又因为$\angle CBG+\angle BGC = 90^{\circ}$，$\angle BGC=\angle DGH$，所以$\angle CDE+\angle DGH = 90^{\circ}$，则$\angle DHG = 90^{\circ}$，即$BG\perp DE$。
所以$BG$与$DE$的关系为$BG = DE$且$BG\perp DE$。
(2) 连接$BD$，$GE$。
因为四边形$ABCD$是边长为$4$的正方形，根据勾股定理$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}$，可得$BD^{2}=4^{2}+4^{2}=32$。
因为四边形$CEFG$是边长为$2\sqrt{2}$的正方形，根据勾股定理$GE^{2}=CG^{2}+CE^{2}$，可得$GE^{2}=(2\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=16$。
由$\angle BCD=\angle GCE = 90^{\circ}$，可得$\angle BCG+\angle DCG=\angle DCE+\angle DCG$，即$\angle BCG=\angle DCE$。
又$BC = CD$，$CG = CE$，所以$\triangle BCG\cong\triangle DCE$（$SAS$），则$\angle CBG=\angle CDE$。
因为$\angle CBG+\angle BHC = 90^{\circ}$，$\angle BHC=\angle DHO$，所以$\angle CDE+\angle DHO = 90^{\circ}$，$\angle DOH = 90^{\circ}$。
根据勾股定理：$DG^{2}=DO^{2}+OG^{2}$，$BE^{2}=BO^{2}+OE^{2}$，$BD^{2}=BO^{2}+DO^{2}$，$GE^{2}=OG^{2}+OE^{2}$。
所以$DG^{2}+BE^{2}=DO^{2}+OG^{2}+BO^{2}+OE^{2}=(BO^{2}+DO^{2})+(OG^{2}+OE^{2})=BD^{2}+GE^{2}$。
把$BD^{2}=32$，$GE^{2}=16$代入可得$DG^{2}+BE^{2}=32 + 16=48$，是定值。
【答案】：
(1) $BG = DE$且$BG\perp DE$
(2) 是定值，$48$