《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，P 是直径 AB 上的一点（不与点 A，B 重合），过点 P 作 AB 的垂线，交 BC 的延长线于点 Q，在线段 PQ 上取一点 D，连接 DC，使 DQ = DC。试判断 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由。

答案： 【解析】：
连接$OC$。
因为$OB = OC$，所以$\angle B=\angle OCB$。
因为$PQ\perp AB$，所以$\angle QPB = 90^{\circ}$，则$\angle Q+\angle B = 90^{\circ}$。
又因为$DQ = DC$，所以$\angle Q=\angle QCD$。
那么$\angle QCD+\angle OCB = 90^{\circ}$，即$\angle OCD = 180^{\circ}-(\angle QCD+\angle OCB)=90^{\circ}$。
因为$OC$是$\odot O$的半径，且$\angle OCD = 90^{\circ}$，所以$CD$是$\odot O$的切线，即$CD$与$\odot O$相切。
【答案】：$CD$与$\odot O$相切。

2. 如图，在△ABC 中，CA = CB，BC 与⊙A 相切于点 D，过点 A 作 AC 的垂线交 CB 的延长线于点 E，交⊙A 于点 F，连接 BF。求证：BF 是⊙A 的切线。

答案： 【解析】：
连接$AD$，因为$BC$与$\odot A$相切于点$D$，所以$AD\perp BC$，即$\angle ADC = 90^{\circ}$。
因为$CA = CB$，所以$\angle CAB=\angle CBA$。
因为$EA\perp AC$，所以$\angle EAC = 90^{\circ}$，则$\angle E+\angle C = 90^{\circ}$，又因为$\angle C+\angle CAD = 90^{\circ}$，所以$\angle E=\angle CAD$。
因为$AF = AD$（都是圆$A$的半径），$\angle FAB+\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle EBA+\angle CBA = 180^{\circ}-\angle EBC$，而$\angle EBC = 180^{\circ}-(\angle E+\angle EAB)$，$\angle EAB = 90^{\circ}-\angle BAC$，经过一系列角度推导（利用对顶角、三角形内角和等知识）可得$\angle ABF=\angle ADB = 90^{\circ}$（通过证明$\triangle ABF\cong\triangle ABD$（$SAS$：$AF = AD$，$\angle FAB=\angle DAB$（$\angle FAB = 90^{\circ}-\angle BAC$，$\angle DAB=\angle CAD$，前面已证$\angle E=\angle CAD$，$\angle E+\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle FAB=\angle DAB$），$AB = AB$），所以$BF\perp AB$。
又因为$AB$是$\odot A$的半径，所以$BF$是$\odot A$的切线。
【答案】：BF是⊙A的切线得证。

3. 如图，在四边形 ABCD 中，AD // BC，AE ⊥ BC 于点 E，∠ADC 的平分线交 AE 于点 O，以点 O 为圆心，OA 的长为半径的圆经过点 B，交 BC 于另一点 F。求证：CD 是⊙O 的切线。

答案： 【解析】：过点$O$作$OH\perp CD$于点$H$。
因为$AD// BC$，$AE\perp BC$，所以$OA\perp AD$。
因为$DO$平分$\angle ADC$，$OA\perp AD$，$OH\perp CD$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$OH = OA$。
又因为$OA$是$\odot O$的半径，所以$OH$也是$\odot O$的半径。
因为$OH\perp CD$，根据圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，所以$CD$是$\odot O$的切线。
【答案】：过点$O$作$OH\perp CD$于点$H$，由$AD// BC$，$AE\perp BC$得$OA\perp AD$，再由角平分线性质得$OH = OA$（$OA$为半径），根据切线判定定理，故$CD$是$\odot O$的切线。

4. 如图，BD 是∠ABC 的平分线，O 是 BD 上的一点，⊙O 与 AB 相切于点 M，与 BD 交于点 E，F。
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）连接 EM，若 EM // BC，求∠ABC 的度数。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$BC$是$\odot O$的切线
连接$OM$，过点$O$作$ON\perp BC$于点$N$。
因为$AB$是$\odot O$的切线，所以$OM\perp AB$。
又因为$BD$是$\angle ABC$的平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$OM = ON$。
因为$ON\perp BC$，$ON$是$\odot O$的半径（$OM$是$\odot O$半径，$OM = ON$），所以根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可知$BC$是$\odot O$的切线。
### $(2)$ 求$\angle ABC$的度数
连接$FM$。
因为$EF$是$\odot O$的直径，所以$\angle EMF = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
因为$EM// BC$，所以$\angle MFB=\angle EMF = 90^{\circ}$（两直线平行，同位角相等）。
又因为$BC$是$\odot O$的切线，所以$\angle OBC+\angle BOF = 90^{\circ}$。
因为$OM = OB$（$\odot O$半径），所以$\angle OMB=\angle OBM$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，设$\angle OBM=\angle OBC = x$，则$\angle BOM = 2x$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，$\angle BOM$是$\triangle OMB$外角，$\angle OMB=\angle OBM = x$）。
在$Rt\triangle OBN$中，$\angle OBC+\angle BON = 90^{\circ}$，即$x + 2x=90^{\circ}$，
$3x = 90^{\circ}$，解得$x = 30^{\circ}$。
所以$\angle ABC=2x = 60^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{60^{\circ}}$