《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1.(教材P9练习T1变式)填空:
(1)$x^{2}+8x+$16$=(x+$4$)^{2};$
(2)$x^{2}-2x+$1$=(x-$1$)^{2};$
(3)$x^{2}-5x+$$\frac{25}{4}$$=(x-$$\frac{5}{2}$$)^{2};$
(4)$x^{2}+\frac {3}{2}x+$$\frac{9}{16}$$=(x+$$\frac{3}{4}$$)^{2}.$

答案： （1）$16$；$4$；（2）$1$；$1$；（3）$\frac{25}{4}$；$\frac{5}{2}$；（4）$\frac{9}{16}$；$\frac{3}{4}$

2.用配方法解方程$x^{2}-6x=7$时,应在方程的两边都加上C
A.3
B.-3
C.9
D.-9

答案： C

3.用配方法解方程$x^{2}-4x-1=0$时,配方后正确的是 (C)
A.$(x+2)^{2}=3$
B.$(x+2)^{2}=17$
C.$(x-2)^{2}=5$
D.$(x-2)^{2}=17$

答案： C

4.【新考法·过程性学习】用配方法解方程:$x^{2}+10x+16=0.$
解:移项,得$x^{2}+10x=-16$.
两边同时加上25,得$x^{2}+10x + 25 = -16 + 25$.
左边写成完全平方形式,得$(x + 5)^{2}=9$.
直接开平方,得$x + 5 = ±3$.
解得$x_{1}=-2$，$x_{2}=-8$.

答案： 【解析】：本题可根据配方法解方程的步骤来逐步分析填空。配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。
移项：把常数项移到等号右边，所以移项后得到$x^{2}+10x=-16$。
配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，一次项系数是$10$，其一半的平方为$(\frac{10}{2})^2 = 25$，两边同时加上$25$，得到$x^{2}+10x + 25 = -16 + 25$。
写成完全平方形式：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$x^{2}+10x + 25=(x + 5)^{2}$，所以左边写成完全平方形式为$(x + 5)^{2}=9$。
直接开平方：对$(x + 5)^{2}=9$两边直接开平方，得到$x + 5 = ±3$。
求解：当$x + 5 = 3$时，$x = 3 - 5 = -2$；当$x + 5 = -3$时，$x = -3 - 5 = -8$，所以解得$x_{1}=-2$，$x_{2}=-8$。
【答案】：$x^{2}+10x=-16$；$25$；$x^{2}+10x + 25 = -16 + 25$；$(x + 5)^{2}=9$；$x + 5 = ±3$；$x_{1}=-2$，$x_{2}=-8$

5.用配方法解下列方程:
(1)(2024·安徽)$x^{2}-2x=3;$
(2)$x^{2}+3x-4=0;$
(3)$x^{2}-2x=4x-1;$
(4)$y^{2}+1+2y=6y.$

答案： 【解析】：
(1)
对于方程$x^{2}-2x = 3$，
配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，一次项系数是$-2$，一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，
则$x^{2}-2x + 1=3 + 1$，
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，可得$(x - 1)^{2}=4$，
开平方得$x - 1=\pm2$，
即$x - 1 = 2$或$x - 1=-2$，
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$。
(2)
对于方程$x^{2}+3x - 4 = 0$，
移项得$x^{2}+3x=4$，
配方：一次项系数是$3$，一半的平方为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，
则$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$，
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$(x+\frac{3}{2})^{2}=\frac{16 + 9}{4}=\frac{25}{4}$，
开平方得$x+\frac{3}{2}=\pm\frac{5}{2}$，
即$x+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$或$x+\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-4$。
(3)
对于方程$x^{2}-2x = 4x-1$，
移项得$x^{2}-2x-4x=-1$，
合并同类项得$x^{2}-6x=-1$，
配方：一次项系数是$-6$，一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2 = 9$，
则$x^{2}-6x + 9=-1 + 9$，
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，可得$(x - 3)^{2}=8$，
开平方得$x - 3=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$，
解得$x_{1}=3 + 2\sqrt{2}$，$x_{2}=3 - 2\sqrt{2}$。
(4)
对于方程$y^{2}+1+2y = 6y$，
移项得$y^{2}+2y-6y=-1$，
合并同类项得$y^{2}-4y=-1$，
配方：一次项系数是$-4$，一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2 = 4$，
则$y^{2}-4y + 4=-1 + 4$，
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，可得$(y - 2)^{2}=3$，
开平方得$y - 2=\pm\sqrt{3}$，
解得$y_{1}=2+\sqrt{3}$，$y_{2}=2-\sqrt{3}$。
【答案】：
(1)$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$；
(2)$x_{1}=1$，$x_{2}=-4$；
(3)$x_{1}=3 + 2\sqrt{2}$，$x_{2}=3 - 2\sqrt{2}$；
(4)$y_{1}=2+\sqrt{3}$，$y_{2}=2-\sqrt{3}$

6.用配方法解方程$2x^{2}+8x+5=0$时,配方正确的是 (B)
A.$(x-2)^{2}=\frac {3}{2}$
B.$(x+2)^{2}=\frac {3}{2}$
C.$(x+2)^{2}=-\frac {3}{2}$
D.$(x+2)^{2}=\frac {13}{2}$

答案： B

7.用配方法解下列方程:
(1)$3x^{2}+6x=9;$
(2)$\frac {1}{2}x^{2}-6x-14=0;$
(3)$3x^{2}-x-1=0.$

答案： 【解析】：
(1)
对于方程$3x^{2}+6x = 9$，
首先将二次项系数化为$1$，方程两边同时除以$3$得：$x^{2}+2x = 3$。
然后配方，在等式两边加上一次项系数一半的平方，一次项系数是$2$，一半的平方为$1$，则$x^{2}+2x + 1=3 + 1$，
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$(x + 1)^{2}=4$。
开平方得$x + 1=\pm2$，
即$x+1 = 2$或$x + 1=-2$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-3$。
(2)
对于方程$\frac{1}{2}x^{2}-6x - 14 = 0$，
先将方程两边同时乘以$2$去分母得：$x^{2}-12x-28 = 0$，
移项得$x^{2}-12x=28$。
配方，一次项系数是$-12$，一半的平方为$36$，在等式两边加上$36$得：$x^{2}-12x + 36=28 + 36$，
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，可得$(x - 6)^{2}=64$。
开平方得$x - 6=\pm8$，
即$x-6 = 8$或$x - 6=-8$，
解得$x_{1}=14$，$x_{2}=-2$。
(3)
对于方程$3x^{2}-x - 1 = 0$，
先将二次项系数化为$1$，方程两边同时除以$3$得：$x^{2}-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}=0$，
移项得$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$。
配方，一次项系数是$-\frac{1}{3}$，一半的平方为$\frac{1}{36}$，在等式两边加上$\frac{1}{36}$得：$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$，
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，可得$(x-\frac{1}{6})^{2}=\frac{12 + 1}{36}=\frac{13}{36}$。
开平方得$x-\frac{1}{6}=\pm\frac{\sqrt{13}}{6}$，
即$x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{6}$，
解得$x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{6}$，$x_{2}=\frac{1 - \sqrt{13}}{6}$。
【答案】：
(1)$x_{1}=1$，$x_{2}=-3$；
(2)$x_{1}=14$，$x_{2}=-2$；
(3)$x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{6}$，$x_{2}=\frac{1 - \sqrt{13}}{6}$