《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

11.如图,矩形ABCD的周长为18,其中E,F,G,H为矩形ABCD各边的中点.若$AB=x$,四边形EFGH的面积为y,则y与x之间的关系式为$y =-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x(0\lt x\lt9)$.

答案： $y =-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x(0\lt x\lt9)$

12.某商场购进一种单价为40元的商品.如果以单价60元售出,那么每天可售出300件.根据销售经验,该种商品每降价1元,每天可多售出20件.假设每件降价x元,每天的销售量为y件,每天获得的利润为W元.
(1)y与x之间的关系式为$y = 300 + 20x$;
(2)W与x之间的关系式为$W=-20x^{2}+100x + 6000$.(不必写出x的取值范围)

答案：
(1)$y = 300 + 20x$；
(2)$W=-20x^{2}+100x + 6000$

13.已知函数$y=(m^{2}-m)x^{2}+(m-1)x-2$(m为常数).
(1)若这个函数是关于x的一次函数,求m的值;
(2)若这个函数是关于x的二次函数,求m的取值范围.

答案： 【解析】：
(1) 若函数$y=(m^{2}-m)x^{2}+(m - 1)x - 2$是关于$x$的一次函数，则二次项系数为$0$，且一次项系数不为$0$。
即$\begin{cases}m^{2}-m = 0\\m - 1\neq 0\end{cases}$，
由$m^{2}-m = 0$，因式分解得$m(m - 1)=0$，解得$m = 0$或$m = 1$；
又因为$m - 1\neq 0$，即$m\neq 1$，所以$m = 0$。
(2) 若函数$y=(m^{2}-m)x^{2}+(m - 1)x - 2$是关于$x$的二次函数，则二次项系数不为$0$，
即$m^{2}-m\neq 0$，因式分解得$m(m - 1)\neq 0$，解得$m\neq 0$且$m\neq 1$。
【答案】：
(1)$m = 0$；
(2)$m\neq 0$且$m\neq 1$

14.如图,在一面靠墙的空地上,用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD.设花圃的宽AB为xm,面积为$Sm^{2}$.
(1)求S与x之间的关系式及自变量x的取值范围;
(2)若墙的最大可用长度为9m,求此时自变量x的取值范围.

答案： 【解析】：
(1)已知花圃的宽$AB$为$xm$，篱笆长$24m$，且中间隔有一道篱笆，那么$BC=(24 - 3x)m$。
根据长方形面积公式$S = AB\times BC$，可得$S=x(24 - 3x)=-3x^{2}+24x$。
因为$AB\gt0$，$BC\gt0$，即$\begin{cases}x\gt0\\24 - 3x\gt0\end{cases}$，解$24 - 3x\gt0$得$x\lt8$，所以自变量$x$的取值范围是$0\lt x\lt8$。
(2)由
(1)知$BC = 24 - 3x$，因为墙的最大可用长度为$9m$，所以$0\lt24 - 3x\leq9$。
解不等式$24 - 3x\gt0$得$x\lt8$；解不等式$24 - 3x\leq9$，$-3x\leq9 - 24$，$-3x\leq - 15$，$x\geq5$。
所以此时自变量$x$的取值范围是$5\leq x\lt8$。
【答案】：
(1)$S=-3x^{2}+24x$，$0\lt x\lt8$；
(2)$5\leq x\lt8$。

15.如图,每一个图形都可以看作由多个小圆圈组成的大三角形.
(1)你知道每一个图形中各有多少个小圆圈吗? 请完成下表:
|三角形边上的小圆圈数|1|2|3|4|5|
|----|----|----|----|----|----|
|每个图形中小圆圈的总数|1|3|6|10|15|
(2)若用n表示三角形边上的小圆圈数,m表示这个三角形中小圆圈的总数,则m和n的关系是什么?
$m=\frac{n(n + 1)}{2}$

答案： 【解析】：
(1) 当三角形边上的小圆圈数为$1$时，小圆圈总数为$1$；当三角形边上的小圆圈数为$2$时，小圆圈总数为$1 + 2=3$；当三角形边上的小圆圈数为$3$时，小圆圈总数为$1 + 2 + 3 = 6$；当三角形边上的小圆圈数为$4$时，小圆圈总数为$1 + 2 + 3 + 4 = 10$；当三角形边上的小圆圈数为$5$时，小圆圈总数为$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$。
(2) 通过观察上述规律，$m = 1 + 2 + 3+\cdots + n$，根据等差数列求和公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$（这里$a_1 = 1$，$a_n = n$），可得$m=\frac{n(n + 1)}{2}$。
【答案】：
(1) $1$；$3$；$6$；$10$；$15$
(2) $m=\frac{n(n + 1)}{2}$