《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

13.某宾馆有$50$个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为$180$元时，房间会住满；当每个房间每天的定价每增加$10$元时，就会有一个房间空闲.宾馆需为有游客居住的房间每天支出$20$元.若想要获得最大利润，则房价应定为每个房间每天350元.

答案： $350$

14.(2024·六安霍邱期末)为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品.在试销售的$30$天中，第$x(1\leq x\leq30$，且$x$为整数)天的售价$p$(元/千克)与$x$的函数关系式为$p = \begin{cases}mx + n(1\leq x\lt20),\\20(20\leq x\leq30),\end{cases}$销量$q$(千克)与$x$的函数关系式为$q = x + 10$.已知第$5$天的售价为$50$元/千克，第$10$天的售价为$40$元/千克，第$x$天的销售额为$W$元.
(1)$m = $$-2$，$n = $$60$；
(2)求第$x$天的销售额$W$元与$x$之间的函数关系式；
$W=\begin{cases}-2x^{2}+40x + 600(1\leq x\lt20)\\20x + 200(20\leq x\leq30)\end{cases}$
(3)在试销售的$30$天中，销售额超过$750$元的共有多少天？
$12$天

答案： 【解析】：
1. 首先求$m$，$n$的值：
已知当$1\leq x\lt20$时，$p = mx + n$，且第$5$天的售价为$50$元/千克，第$10$天的售价为$40$元/千克，将$\begin{cases}x = 5\\p = 50\end{cases}$和$\begin{cases}x = 10\\p = 40\end{cases}$分别代入$p = mx + n$中，得到方程组$\begin{cases}5m + n = 50\\10m + n = 40\end{cases}$。
用第二个方程$10m + n = 40$减去第一个方程$5m + n = 50$，可得：
$(10m + n)-(5m + n)=40 - 50$。
去括号得$10m + n - 5m - n=-10$。
合并同类项得$5m=-10$，解得$m = - 2$。
将$m = - 2$代入$5m + n = 50$中，得$5\times(-2)+n = 50$。
即$-10 + n = 50$，解得$n = 60$。
2. 然后求销售额$W$与$x$之间的函数关系式：
因为销售额$W = p\times q$，$q = x + 10$，且$p=\begin{cases}-2x + 60(1\leq x\lt20)\\20(20\leq x\leq30)\end{cases}$。
当$1\leq x\lt20$时，$W=(-2x + 60)(x + 10)$。
展开式子：$W=-2x^{2}-20x + 60x + 600=-2x^{2}+40x + 600$。
当$20\leq x\leq30$时，$W = 20(x + 10)=20x+200$。
所以$W=\begin{cases}-2x^{2}+40x + 600(1\leq x\lt20)\\20x + 200(20\leq x\leq30)\end{cases}$。
3. 最后求销售额超过$750$元的天数：
当$1\leq x\lt20$时，令$W=-2x^{2}+40x + 600\gt750$。
移项得$-2x^{2}+40x + 600 - 750\gt0$，即$-2x^{2}+40x - 150\gt0$。
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x^{2}-20x + 75\lt0$。
对于一元二次方程$x^{2}-20x + 75 = 0$，其中$a = 1$，$b=-20$，$c = 75$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，可得$x=\frac{20\pm\sqrt{(-20)^{2}-4\times1\times75}}{2\times1}=\frac{20\pm\sqrt{400 - 300}}{2}=\frac{20\pm10}{2}$。
解得$x_1=\frac{20 + 10}{2}=15$，$x_2=\frac{20 - 10}{2}=5$。
所以不等式$x^{2}-20x + 75\lt0$的解集为$5\lt x\lt15$，又因为$x$为整数，所以$x = 6,7,\cdots,14$，共$14 - 6+1 = 9$天。
当$20\leq x\leq30$时，令$W = 20x + 200\gt750$。
移项得$20x\gt750 - 200$，即$20x\gt550$。
解得$x\gt27.5$，又因为$x$为整数且$20\leq x\leq30$，所以$x = 28,29,30$，共$3$天。
所以销售额超过$750$元的天数共有$9 + 3=12$天。
【答案】：
(1)$-2$；$60$；
(2)$W=\begin{cases}-2x^{2}+40x + 600(1\leq x\lt20)\\20x + 200(20\leq x\leq30)\end{cases}$；
(3)$12$天

15.(2024·江西)如图，一小球从斜坡$O$点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用抛物线$y = ax^{2}+bx(a\lt0)$刻画，斜坡可以用直线$y = \frac{1}{4}x$刻画，小球飞行的水平距离$x$(米)与小球飞行的高度$y$(米)的变化规律如下表：
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $m$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $\cdots$ |
| $y$ | $0$ | $\frac{7}{2}$ | $6$ | $\frac{15}{2}$ | $8$ | $\frac{15}{2}$ | $n$ | $\frac{7}{2}$ | $\cdots$ |
(1)①$m = $7，$n = $6；
②小球的落点是$A$，求点$A$的坐标.$A(\frac{15}{2},\frac{15}{8})$
(2)小球的飞行高度$y$(米)与飞行时间$t$(秒)满足关系式$y = -5t^{2}+vt$.
①小球飞行的最大高度为$\frac{121}{5}$米；
②求$v$的值.$22$

答案： 【解析】：
### $(1)$①求$m$、$n$的值
根据抛物线的对称性：对于抛物线$y = ax^{2}+bx(a\lt0)$，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，在抛物线上纵坐标相等的点关于对称轴对称。
已知当$y=\frac{15}{2}$时，$x = 1$与$x = m$纵坐标相等，对称轴为$x=\frac{0 + 4}{2}=2$，所以$\frac{1 + m}{2}=4$，解得$m = 7$。
当$x = 6$时，$n$的值与$x = 2$时$y$的值关于$x = 4$对称，所以$n = 6$。
### $(1)$②求点$A$的坐标
已知抛物线$y = ax^{2}+bx(a\lt0)$过$(2,6)$，$(4,8)$，将点代入抛物线方程可得：
$\begin{cases}4a + 2b = 6\\16a+4b = 8\end{cases}$
由$4a + 2b = 6$可得$2b=6 - 4a$，代入$16a + 4b = 8$中，$16a+2\times(6 - 4a)=8$，
$16a + 12-8a = 8$，$8a=-4$，解得$a = -\frac{1}{2}$。
把$a = -\frac{1}{2}$代入$4a + 2b = 6$，$4\times(-\frac{1}{2})+2b = 6$，$-2 + 2b = 6$，$2b = 8$，解得$b = 4$。
所以抛物线解析式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+4x$。
联立$\begin{cases}y = -\frac{1}{2}x^{2}+4x\\y = \frac{1}{4}x\end{cases}$，即$-\frac{1}{2}x^{2}+4x=\frac{1}{4}x$，
移项得$-\frac{1}{2}x^{2}+4x-\frac{1}{4}x = 0$，$-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{15}{4}x = 0$，$x(-\frac{1}{2}x+\frac{15}{4}) = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2=\frac{15}{2}$。
当$x=\frac{15}{2}$时，$y=\frac{1}{4}\times\frac{15}{2}=\frac{15}{8}$，所以$A(\frac{15}{2},\frac{15}{8})$。
### $(2)$①求小球飞行的最大高度
对于二次函数$y = -5t^{2}+vt$，其对称轴为$t = -\frac{v}{2\times(-5)}=\frac{v}{10}$，当$t=\frac{v}{10}$时，$y_{max}=-5\times(\frac{v}{10})^{2}+v\times\frac{v}{10}=\frac{v^{2}}{20}$。
又因为当$x = 4$时，$y = 8$，即$t = 4$时，$y = 8$（这里$x$与$t$的对应关系：由$(1)$中$x$的取值规律，$x$的变化与$t$的变化一致），代入$y = -5t^{2}+vt$得$8=-5\times4^{2}+4v$，$8=-80 + 4v$，$4v = 88$，$v = 22$。
所以$y=-5t^{2}+22t$，$y_{max}=\frac{4\times(-5)\times0 - 22^{2}}{4\times(-5)}=\frac{484}{20}=\frac{121}{5}= \boldsymbol{\frac{121}{5}}$（米）。
### $(2)$②求$v$的值
由$(1)$知当$x = 4$（对应$t = 4$）时，$y = 8$，代入$y = -5t^{2}+vt$得$8=-5\times4^{2}+4v$，
$8=-80 + 4v$，移项可得$4v=8 + 80$，$4v = 88$，解得$v = 22$。
【答案】：
$(1)$①$\boldsymbol{7}$，$\boldsymbol{6}$；②$\boldsymbol{A(\frac{15}{2},\frac{15}{8})}$；$(2)$①$\boldsymbol{\frac{121}{5}}$；②$\boldsymbol{22}$