《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

9. （2024·合肥模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数$y = ax + b$与二次函数$y = ax^{2}+bx$的图象可能是（B）

答案： B

10. （2025·阜阳期中改编）二次函数$y = ax^{2}-2ax + 4(a ＞ 0)$的图象上有$A(4,y_{1})$，$B(2,y_{2})$，$C(-3,y_{3})$三点，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系是（C）
A. $y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B. $y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$
C. $y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
D. $y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$

答案： C

11. 【新考法·新定义】（2024·眉山）定义运算：$a\otimes b=(a + 2b)(a - b)$. 例如，$4\otimes3=(4 + 2×3)×(4 - 3)$，则函数$y=(x + 1)\otimes2$的最小值为（B）
A. $-21$
B. $-9$
C. $-7$
D. $-5$

答案： B

[变式] 已知二次函数$y = -x^{2}+(2m - 1)x - 3$，当$x ＞ 1$时，$y$随$x$的增大而减小，则$m$的取值范围是$m\leq\frac{3}{2}$.

答案： $m\leq\frac{3}{2}$

12. （2024·乐山）已知二次函数$y = x^{2}-2x(-1\leqslant x\leqslant t - 1)$. 当$x = -1$时，函数取得最大值；当$x = 1$时，函数取得最小值.$t$的取值范围是（C）
A. $0 ＜ t\leqslant2$
B. $0 ＜ t\leqslant4$
C. $2\leqslant t\leqslant4$
D. $t\geqslant2$

答案： C

13. （2025·安庆大观区月考改编）已知关于$x$的二次函数$y = x^{2}-2x - 3$.
(1) 求当$-2\leqslant x\leqslant2$时，$y$的取值范围；
(2) 若点$P(-3,y_{1})$，$Q(q,y_{2})$在该二次函数的图象上，且$y_{1}＜y_{2}$，请直接写出$q$的取值范围.

答案： 【解析】：
(1) 首先将二次函数$y = x^{2}-2x - 3$化为顶点式：
$y=x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$，
所以该二次函数的对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
当$x = 1$时，$y$有最小值$-4$。
接下来分别计算$x=-2$和$x = 2$时$y$的值：
当$x=-2$时，$y=(-2)^{2}-2\times(-2)-3=4 + 4-3 = 5$；
当$x = 2$时，$y=2^{2}-2\times2-3=4 - 4-3=-3$。
因为$5\gt - 3$，所以当$-2\leqslant x\leqslant2$时，$y$的取值范围是$-4\leqslant y\leqslant5$。
(2) 先求当$x=-3$时$y_{1}$的值：
把$x=-3$代入$y = x^{2}-2x - 3$得$y_{1}=(-3)^{2}-2\times(-3)-3=9 + 6-3 = 12$。
因为$y_{2}\gt y_{1}=12$，即$q^{2}-2q - 3\gt12$，
移项得$q^{2}-2q - 15\gt0$，
因式分解得$(q - 5)(q+3)\gt0$，
则有$\begin{cases}q - 5\gt0\\q + 3\gt0\end{cases}$或$\begin{cases}q - 5\lt0\\q + 3\lt0\end{cases}$。
解$\begin{cases}q - 5\gt0\\q + 3\gt0\end{cases}$，即$\begin{cases}q\gt5\\q\gt - 3\end{cases}$，取交集得$q\gt5$；
解$\begin{cases}q - 5\lt0\\q + 3\lt0\end{cases}$，即$\begin{cases}q\lt5\\q\lt - 3\end{cases}$，取交集得$q\lt - 3$。
所以$q$的取值范围是$q\lt - 3$或$q\gt5$。
【答案】：
(1)$-4\leqslant y\leqslant5$；
(2)$q\lt - 3$或$q\gt5$

14. （2025·合肥五十中月考）已知抛物线$y = ax^{2}+6x(a\neq0)$的顶点的纵坐标比抛物线$y = x^{2}-2x$的顶点的纵坐标小$8$.
(1) 求$a$的值.
(2) 点$M(m,n)$在抛物线$y = x^{2}-2x$上，点$N(m + t,n + h)$在抛物线$y = ax^{2}+6x$上.
① 若$m = t + 1$，求$h$的最小值；
② 若$h - 2t = 0$，且$m\leqslant0$，$t ＜ 0$，求$h$的值.

答案： 【解析】：
1. 首先求抛物线$y = x^{2}-2x$的顶点坐标：
对于二次函数$y=Ax^{2}+Bx + C(A\neq0)$，其顶点坐标的横坐标为$x =-\frac{B}{2A}$，纵坐标为$y=\frac{4AC - B^{2}}{4A}$。
对于$y = x^{2}-2x$，其中$A = 1$，$B=-2$，$C = 0$。
顶点横坐标$x=-\frac{-2}{2\times1}=1$。
顶点纵坐标$y=\frac{4\times1\times0-(-2)^{2}}{4\times1}=\frac{-4}{4}=-1$。
2. 然后求抛物线$y = ax^{2}+6x$的顶点纵坐标：
对于$y = ax^{2}+6x$，其中$A = a$，$B = 6$，$C = 0$，其顶点纵坐标为$y=\frac{4a\times0 - 6^{2}}{4a}=-\frac{9}{a}$。
已知抛物线$y = ax^{2}+6x$的顶点的纵坐标比抛物线$y = x^{2}-2x$的顶点的纵坐标小$8$，则$-\frac{9}{a}=-1 - 8$。
即$-\frac{9}{a}=-9$，两边同时乘以$a$得$-9=-9a$，解得$a = 1$。
3. 接着分析点$M(m,n)$和点$N(m + t,n + h)$的情况：
因为点$M(m,n)$在抛物线$y = x^{2}-2x$上，所以$n=m^{2}-2m$。
又因为$a = 1$，所以抛物线$y = ax^{2}+6x$为$y=x^{2}+6x$，点$N(m + t,n + h)$在抛物线$y=x^{2}+6x$上，则$n + h=(m + t)^{2}+6(m + t)$。
把$n=m^{2}-2m$代入$n + h=(m + t)^{2}+6(m + t)$得：
$m^{2}-2m+h=(m + t)^{2}+6(m + t)$。
展开$(m + t)^{2}+6(m + t)=m^{2}+2mt+t^{2}+6m + 6t$。
所以$m^{2}-2m+h=m^{2}+2mt+t^{2}+6m + 6t$，化简得$h=2mt+t^{2}+8m + 6t$。
4. ① 当$m=t + 1$时：
把$m=t + 1$代入$h=2mt+t^{2}+8m + 6t$中，$h=2(t + 1)t+t^{2}+8(t + 1)+6t$。
展开得$h=2t^{2}+2t+t^{2}+8t + 8+6t$。
合并同类项得$h=3t^{2}+16t + 8$。
对于二次函数$y = 3t^{2}+16t + 8$，其中$A = 3$，$B = 16$，$C = 8$，根据二次函数顶点坐标公式$t=-\frac{B}{2A}=-\frac{16}{2\times3}=-\frac{8}{3}$。
把$t =-\frac{8}{3}$代入$h=3t^{2}+16t + 8$得：
$h=3\times(-\frac{8}{3})^{2}+16\times(-\frac{8}{3})+8$。
$h=3\times\frac{64}{9}-\frac{128}{3}+8$。
$h=\frac{64}{3}-\frac{128}{3}+8$。
$h=\frac{64 - 128+24}{3}=-\frac{40}{3}$，所以$h$的最小值为$-\frac{40}{3}$。
5. ② 当$h - 2t = 0$，即$h = 2t$时：
把$h = 2t$代入$h=2mt+t^{2}+8m + 6t$得$2t=2mt+t^{2}+8m + 6t$。
移项得$2mt+t^{2}+8m + 4t = 0$，提取公因式得$m(2t + 8)+t^{2}+4t = 0$，则$m=-\frac{t^{2}+4t}{2t + 8}=-\frac{t(t + 4)}{2(t + 4)}$（$t\neq - 4$）。
因为$t\lt0$，当$t\neq - 4$时，$m=-\frac{t}{2}$。
又因为$m\leqslant0$，$t\lt0$，所以$-\frac{t}{2}\leqslant0$，解得$t\geqslant0$，这与$t\lt0$矛盾，所以$t=-4$。
因为$h = 2t$，所以$h=-8$。
【答案】：
(1)$a = 1$；
(2)①$-\frac{40}{3}$；②$-8$