《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如果一个正多边形的中心角是$40^{\circ }$，那么这个正多边形的边数是 （D）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

答案： D

2. (2024·甘孜州)如图，正六边形ABCDEF内接于$\odot O,OA=1$，则AB的长为 （C）

A. 2
B. $\sqrt {3}$
C. 1
D. $\frac {1}{2}$

答案： C

3. (2024·安庆大观区期末)如图，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，连接OC，OD，则$∠BAE-∠COD=$ （D）

A. $60^{\circ }$
B. $54^{\circ }$
C. $48^{\circ }$
D. $36^{\circ }$

答案： D

4. (2024·镇江)如图，AB是$\odot O$的内接正n边形的一边，点C在$\odot O$上.若$∠ACB=18^{\circ }$，则$n=$10.

答案： $10$

5. 如图，AB是$\odot O$的弦，$OC⊥AB$，连接OA，OB，BC.若BC是$\odot O$的内接正十二边形的一边，则$∠ABC=$$15^{\circ}$.

答案： $15^{\circ}$

6. (教材P108习题T5变式)如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度$b=3cm$，则螺帽的边长$a=$$\sqrt{3}cm$.

答案： $\boldsymbol{\sqrt{3}cm}$

7. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环的排列，共需要正五边形的个数是10.

答案： $10$

8. 如图，$\odot O$的周长为$8πcm$，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$.
(1)求正六边形ABCDEF的边心距；
(2)求正六边形ABCDEF的面积.

答案： 【解析】：
(1)连接 $OA$、$OB$，过 $O$ 作 $OH\perp AB$ 于 $H$。
因为圆 $O$ 的周长为 $8\pi cm$，根据圆的周长公式 $C = 2\pi r$（$C$为周长，$r$为半径），可得 $2\pi r=8\pi$，解得 $r = 4cm$，即 $OA = OB=4cm$。
由于正六边形 $ABCDEF$ 内接于$\odot O$，所以$\angle AOB=\frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$，又因为 $OA = OB$，$OH\perp AB$，所以$\triangle AOB$是等边三角形，$\angle AOH=\frac{1}{2}\angle AOB = 30^{\circ}$。
在 $Rt\triangle AOH$ 中，$AH=\frac{1}{2}OA = 2cm$，根据勾股定理 $OH=\sqrt{OA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}cm$，即正六边形 $ABCDEF$ 的边心距为 $2\sqrt{3}cm$。
(2)由
(1)知 $AB = OA = 4cm$，$OH = 2\sqrt{3}cm$，所以${S}_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times AB\times OH=\frac{1}{2}\times4\times2\sqrt{3}=4\sqrt{3}cm^{2}$。
因为正六边形 $ABCDEF$ 由 $6$ 个全等的$\triangle AOB$组成，所以${S}_{正六边形ABCDEF}=6{S}_{\triangle AOB}=6\times4\sqrt{3}=24\sqrt{3}cm^{2}$。
【答案】：
(1) $2\sqrt{3}cm$
(2) $24\sqrt{3}cm^{2}$

9. 在下列各图中，试分别按要求画出圆的内接正多边形.(不写作法，保留作图痕迹)

答案：