《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

9.【新情境·数学文化】我国南宋数学家杨辉提出一个问题:“直田积八百六十四步,只云阔与长共六十步.问阔及长各几步.”意思如下:一块矩形田地的面积是864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长和宽各多少步.设宽是x步,根据题意,可列方程为$x(60 - x)=864$.

答案： $x(60 - x)=864$

10.在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场.设共有x个队参赛,根据题意,可列方程为$\dfrac{1}{2}x(x - 1)=36$.

答案： $\dfrac{1}{2}x(x - 1)=36$

11.若方程$(a-2)x^{|4-a|}+7x-1=0$是关于x的一元二次方程,则a的值为6.

答案： $6$

12.若关于x的一元二次方程$(m-3)x^{2}+m^{2}x=9x+5$化为一般形式后不含一次项,则m的值为（D）
A.0
B.±3
C.3
D.-3

答案： D

13.(教材P4习题T2变式)一个直角三角形的斜边长为10,两条直角边长相差2.设较长的直角边长为x,则可列方程为$x^{2}+(x - 2)^{2}=10^{2}$.

答案： $x^{2}+(x - 2)^{2}=10^{2}$

14.已知一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0).$
(1)如果方程有一个根是$x=1$,那么a,b,c之间的数量关系是$a + b + c = 0$;
(2)如果方程有一个根是$x=-1$,那么a,b,c之间的数量关系是$a - b + c = 0$;
(3)如果$9a-3b+c=0$,那么方程一定有一个根是$x=-3$.

答案： 【解析】：
(1)把$x = 1$代入一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，可得$a\times1^{2}+b\times1 + c = 0$，即$a + b + c = 0$。
(2)把$x=-1$代入一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，可得$a\times(-1)^{2}+b\times(-1)+c = 0$，即$a - b + c = 0$。
(3)当$x=-3$时，代入方程$ax^{2}+bx + c = 0$得$a\times(-3)^{2}+b\times(-3)+c=9a - 3b + c$，因为$9a - 3b + c = 0$，所以当$x = - 3$时方程成立，即方程一定有一个根是$x=-3$。
【答案】：
(1)$a + b + c = 0$；
(2)$a - b + c = 0$；
(3)$x=-3$

15.已知关于x的方程$(k^{2}-1)x^{2}+(k+1)x-2=0.$
(1)当k取何值时,此方程为一元一次方程?
(2)当k取何值时,此方程为一元二次方程?写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

答案： 【解析】：
（1）若方程$(k^{2}-1)x^{2}+(k + 1)x - 2 = 0$是一元一次方程，则二次项系数为$0$，且一次项系数不为$0$。
即$\begin{cases}k^{2}-1 = 0\\k + 1\neq 0\end{cases}$，
由$k^{2}-1 = 0$，可得$(k + 1)(k - 1)=0$，则$k + 1 = 0$或$k - 1 = 0$，解得$k=\pm1$；
又因为$k + 1\neq 0$，即$k\neq - 1$，所以$k = 1$时，此方程为一元一次方程。
（2）若方程$(k^{2}-1)x^{2}+(k + 1)x - 2 = 0$是一元二次方程，则二次项系数不为$0$，
即$k^{2}-1\neq 0$，$(k + 1)(k - 1)\neq 0$，解得$k\neq\pm1$。
当$k\neq\pm1$时，此方程为一元二次方程，其二次项系数是$k^{2}-1$，一次项系数是$k + 1$，常数项是$-2$。
【答案】：（1）$k = 1$；（2）$k\neq\pm1$；二次项系数：$k^{2}-1$；一次项系数：$k + 1$；常数项：$-2$

16.【整体思想】(1)若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+5=0(a≠0)$有一个根为$x=2025$,则方程$a(x+1)^{2}+b(x+1)=-5$必有一个根为（A）
A.$x=2024$
B.$x=2023$
C.$x=2022$
D.$x=2021$

答案： A

(2)若m是方程$x^{2}-2x-1=0$的一个根,则$m^{2}+\frac {1}{m^{2}}=$6.

答案： $6$

(3)已知a是一元二次方程$x^{2}-2025x+1=0$的一个根,试求$a^{2}-2024a-\frac {a^{2}+1}{2025}$的值.

答案： 【解析】：
因为$a$是一元二次方程$x^{2}-2025x + 1 = 0$的一个根，所以将$x = a$代入方程可得：
$a^{2}-2025a + 1 = 0$，移项得到$a^{2}+1 = 2025a$，$a^{2}=2025a - 1$。
将$a^{2}=2025a - 1$和$a^{2}+1 = 2025a$代入$a^{2}-2024a-\frac{a^{2}+1}{2025}$可得：
$\begin{aligned}&2025a - 1 - 2024a-\frac{2025a}{2025}\\=&(2025a - 2024a)-1 - a\\=&a - 1 - a\\=& - 1\end{aligned}$
【答案】：$-1$