《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1. (链接教材)已知一个直角三角形的两直角边的边长之和为20.设其中一条直角边的边长为x，则面积S关于x的函数解析式为$S=-\frac{1}{2}x^{2}+10x$，当x=10时，S有最大值，最大值为50.

答案： $S=-\frac{1}{2}x^{2}+10x$；$10$；$50$

2. (2025·六安霍邱期中改编)一个长20m、宽16m的矩形花园如图所示，根据需要，计划将它的长缩短xm、宽增加xm，要想使修改后的花园面积达到最大，则x=2.

答案： $2$

3. (2024·泰安)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋的外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是450平方米.

答案： $450$

4. 如图，已知▱ABCD的周长为8cm，∠B=30°，设边长AB=xcm.
(1)▱ABCD的面积y(cm²)与x(cm)之间的函数解析式为$y =-\frac{1}{2}x^{2}+2x$，自变量x的取值范围是$0\lt x\lt4$；
(2)当x=2时，y的值最大，最大值为2.

答案：
(1)$y =-\frac{1}{2}x^{2}+2x$；$0\lt x\lt4$
(2)$2$；$2$

5. (2025·合肥庐阳区月考)如图，现利用一面墙(a=12m)，用总长为36m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD.设花圃的一边AB的长为xm，面积为Sm².
(1)求S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围.
(2)当AB的长是多少米时，围成的矩形花圃ABCD的面积最大?求出最大面积.

答案： 【解析】：
(1)已知$AB = xm$，因为篱笆总长为$36m$，且中间隔有一道篱笆，所以$BC=(36 - 3x)m$。
根据矩形面积公式$S = AB\times BC$，可得$S=x(36 - 3x)=-3x^{2}+36x$。
又因为墙长$a = 12m$，所以$0\lt36 - 3x\leqslant12$，
解不等式$36 - 3x\gt0$，得$3x\lt36$，$x\lt12$；
解不等式$36 - 3x\leqslant12$，得$3x\geqslant36 - 12$，$3x\geqslant24$，$x\geqslant8$。
所以自变量$x$的取值范围是$8\leqslant x\lt12$。
(2)对于二次函数$S=-3x^{2}+36x$，其中$a=-3\lt0$，函数图象开口向下，对称轴为$x =-\frac{b}{2a}=-\frac{36}{2\times(-3)} = 6$。
因为对称轴$x = 6$不在自变量$x$的取值范围$8\leqslant x\lt12$内，且函数图象开口向下，在对称轴右侧$S$随$x$的增大而减小。
所以当$x = 8$时，$S$有最大值，$S=-3\times8^{2}+36\times8=-3\times64 + 288=-192 + 288 = 96$。
【答案】：
(1)$S=-3x^{2}+36x$，$8\leqslant x\lt12$；
(2)当$AB$的长是$8$米时，围成的矩形花圃$ABCD$的面积最大，最大面积是$96m^{2}$。

6. (2024·淮北一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动.若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是 (C)

A. 20cm
B. 18cm
C. 2√5cm
D. 3√2cm

答案： C