《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle CAB = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$E$，$F$为$BC$上的点，且$\angle EAF = 45^{\circ}$。求证：$BE^{2} + CF^{2} = EF^{2}$。

答案： 【解析】：
将$\triangle ABE$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ACD$，连接$DF$。
- 由旋转性质可得：$AD = AB$，$CD = BE$，$\angle B=\angle ACD$，$\angle BAE=\angle CAD$。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle EAF = 45^{\circ}$，所以$\angle BAE+\angle CAF = 45^{\circ}$，则$\angle CAD+\angle CAF=\angle DAF = 45^{\circ}=\angle EAF$。
又因为$AF = AF$，根据$SAS$（边角边）可得$\triangle AEF\cong\triangle ADF$，所以$EF = DF$。
- 因为$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle B=\angle ACB = 45^{\circ}$，那么$\angle DCF=\angle ACD+\angle ACB=\angle B+\angle ACB = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle DCF$中，根据勾股定理可得$CD^{2}+CF^{2}=DF^{2}$。
- 把$CD = BE$，$DF = EF$代入上式，就有$BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$。
【答案】：
将$\triangle ABE$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ACD$，连接$DF$。
- 由旋转得$AD = AB$，$CD = BE$，$\angle B=\angle ACD$，$\angle BAE=\angle CAD$。
$\because\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle EAF = 45^{\circ}$，$\therefore\angle BAE+\angle CAF = 45^{\circ}$，$\therefore\angle CAD+\angle CAF=\angle DAF = 45^{\circ}=\angle EAF$。
又$\because AF = AF$，$\therefore\triangle AEF\cong\triangle ADF(SAS)$，$\therefore EF = DF$。
- $\because AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\therefore\angle B=\angle ACB = 45^{\circ}$，$\therefore\angle DCF=\angle ACD+\angle ACB=\angle B+\angle ACB = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle DCF$中，$CD^{2}+CF^{2}=DF^{2}$。
- 把$CD = BE$，$DF = EF$代入得$BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$。
故$BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$得证。

8. 如图，在$\triangle ABC$中，$CA = CB$，$\angle ACB = 120^{\circ}$，$E$为$AB$上的一点，$\angle DCE = 60^{\circ}$，$\angle DAE = 120^{\circ}$，连接$DE$。求证：$DE - AD = BE$。

答案： 【解析】：
1. 首先，在$DE$上截取$DF = AD$：
因为$CA = CB$，$\angle ACB = 120^{\circ}$，所以$\angle CAB=\angle CBA = 30^{\circ}$。
又因为$\angle DAE = 120^{\circ}$，所以$\angle DAC=\angle DAE-\angle CAB = 120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$，$\angle CBE = 90^{\circ}$。
由于$\angle DCE = 60^{\circ}$，$\angle ACB = 120^{\circ}$，所以$\angle ACD+\angle BCE=\angle ACB - \angle DCE=60^{\circ}$。
因为$CA = CB$，$\angle CAD=\angle CBE = 90^{\circ}$，且$\angle ADC+\angle ACD = 90^{\circ}$，$\angle BCE+\angle BEC = 90^{\circ}$，$\angle ACD+\angle BCE = 60^{\circ}$，所以$\angle ADC+\angle BEC = 120^{\circ}$。
又因为$\angle ADC+\angle CDE = 180^{\circ}-\angle DAE+\angle DCE=180^{\circ}-120^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$，所以$\angle CDE=\angle BEC$。
因为$\angle CAD = 90^{\circ}$，$DF = AD$，所以$\angle DAF=\angle DFA = 45^{\circ}$，$\angle CFE=\angle CBE = 90^{\circ}$。
因为$\angle DCE=\angle FCE = 60^{\circ}$，$CE = CE$，$\angle CFE=\angle CBE = 90^{\circ}$，所以$\triangle CFE\cong\triangle CBE(AAS)$。
2. 然后，根据全等三角形的性质：
由$\triangle CFE\cong\triangle CBE$可得$CF = CB$，又因为$CA = CB$，所以$CA = CF$。
因为$\angle CAD=\angle CFD = 90^{\circ}$，$AD = DF$，所以$\triangle CAD\cong\triangle CFD(HL)$。
因为$DE=DF + FE$，$DF = AD$，$FE = BE$。
【答案】：
在$DE$上截取$DF = AD$，通过证明$\triangle CAD\cong\triangle CFD(HL)$和$\triangle CFE\cong\triangle CBE(AAS)$，利用全等三角形对应边相等，由$DE=DF + FE$，$DF = AD$，$FE = BE$，可得$DE - AD = BE$。

9. 如图 1，$\triangle ABC$和$\triangle BDC$是等腰三角形，且$AB = AC$，$BD = CD$，$\angle BAC = 80^{\circ}$，$\angle BDC = 100^{\circ}$，以$D$为顶点作一个$50^{\circ}$的角，角的两边分别交边$AB$，$AC$于点$E$，$F$，连接$EF$。
(1) 探究$BE$，$EF$，$FC$之间的数量关系，并说明理由；
(2) 如图 2，若点$E$，$F$分别在$AB$，$CA$的延长线上，其他条件不变，试猜想$BE$，$EF$，$FC$之间的数量关系，并说明理由。

答案： 【解析】：
### $(1)$探究$BE$，$EF$，$FC$之间的数量关系
- **步骤一：利用等腰三角形性质求角的度数**
已知$AB = AC$，$\angle BAC=80^{\circ}$，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC=\angle ACB = \frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)=\frac{1}{2}(180 - 80)^{\circ}=50^{\circ}$。
又因为$BD = CD$，$\angle BDC = 100^{\circ}$，所以$\angle DBC=\angle DCB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BDC)=\frac{1}{2}(180 - 100)^{\circ}=40^{\circ}$。
则$\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC = 50^{\circ}-40^{\circ}=10^{\circ}$，$\angle ACD=\angle ACB-\angle DCB = 50^{\circ}-40^{\circ}=10^{\circ}$。
- **步骤二：构造全等三角形**
将$\triangle BDE$绕点$D$顺时针旋转$100^{\circ}$，使$BD$与$CD$重合，得到$\triangle CDG$。
则$\triangle BDE\cong\triangle CDG$，所以$BE = CG$，$DE = DG$，$\angle BDE=\angle CDG$。
- **步骤三：证明$\triangle DEF\cong\triangle DGF$**
因为$\angle EDF = 50^{\circ}$，$\angle BDC = 100^{\circ}$，所以$\angle BDE+\angle FDC=\angle BDC-\angle EDF=100^{\circ}-50^{\circ}=50^{\circ}$。
那么$\angle FDG=\angle FDC+\angle CDG=\angle FDC+\angle BDE = 50^{\circ}$，即$\angle EDF=\angle FDG$。
在$\triangle DEF$和$\triangle DGF$中，$\left\{\begin{array}{l}DE = DG\\\angle EDF=\angle FDG\\DF = DF\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle DEF\cong\triangle DGF$。
所以$EF = FG$。
又因为$FG=FC + CG$，$BE = CG$，所以$EF=BE + FC$。
### $(2)$探究$BE$，$EF$，$FC$之间的数量关系
- **步骤一：构造全等三角形**
将$\triangle BDE$绕点$D$逆时针旋转$100^{\circ}$，使$BD$与$CD$重合，得到$\triangle CDH$。
则$\triangle BDE\cong\triangle CDH$，所以$BE = CH$，$DE = DH$，$\angle BDE=\angle CDH$。
- **步骤二：证明$\triangle DEF\cong\triangle DHF$**
因为$\angle EDF = 50^{\circ}$，$\angle BDC = 100^{\circ}$，所以$\angle EDC-\angle BDE=\angle EDC-\angle CDH = 50^{\circ}$，即$\angle EDH = 100^{\circ}$，$\angle FDH=\angle EDH-\angle EDF=100^{\circ}-50^{\circ}=50^{\circ}$。
所以$\angle EDF=\angle FDH$。
在$\triangle DEF$和$\triangle DHF$中，$\left\{\begin{array}{l}DE = DH\\\angle EDF=\angle FDH\\DF = DF\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle DEF\cong\triangle DHF$。
所以$EF = FH$。
又因为$FH=FC - CH$，$BE = CH$，所以$EF=FC - BE$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{EF = BE + FC}$；
$(2)$$\boldsymbol{EF = FC - BE}$。