《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

例 1 如图，在四边形 ABCD 中，AB = AC = AD，连接 BD。如果∠DAC = 56°，∠CAB = 20°，那么∠BCD = 142°。

答案： $142$

例 2 如图，已知正方形纸片 ABCD 的边 AB = 4，点 P 在边 AD 上，将∠A 沿 BP 折叠，点 A 的对应点为 A'，连接 DA'，则 DA'的最小值为 ______$4\sqrt{2}-4$。

答案： $4\sqrt{2}-4$

例 3 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6，AD = 8，P 是矩形内部的一个动点，且∠APD = 90°，连接 CP 并延长交 AB 于点 E，则 AE 的最大值为 ______4。

答案： $4$

例 4 如图，在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，P 为△ABC 内的一个动点，且∠PBC = ∠PCA，连接 AP，则△PBC 面积的最大值为 ______$\frac{4\sqrt{3}}{3}$。

答案： $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

例 5 如图，△ABC 的两条高 BD，CE 交于点 H，连接 AH 并延长，交 BC 于点 F。求证：AF⊥BC。

答案： 【解析】：
因为$BD$，$CE$是$\triangle ABC$的高，所以$BD\perp AC$，$CE\perp AB$。
根据三角形垂心的定义：三角形三条高所在直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
已知$BD$与$CE$交于点$H$，所以点$H$是$\triangle ABC$的垂心。
因为$AF$经过垂心$H$，且$AF$是从$A$点出发的线段，所以$AF$是$\triangle ABC$的高，即$AF\perp BC$。
【答案】：
$AF\perp BC$得证。