《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

5. 如图，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$C$，$D$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的三等分点，$AB$ 交 $OC$，$OD$ 于点 $E$，$F$。
(1) 求证：$AE = CD$；
(2) 若 $\odot O$ 的半径为 $4$，求 $AE$ 的长。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$AE = CD$
连接$AC$。
因为$C$，$D$为$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，$\angle AOB = 90^{\circ}$，所以$\angle AOC=\angle COD = 30^{\circ}$。
又因为$OA = OC$，所以$\triangle AOC$是等腰三角形，$\angle OAC=\angle OCA = 75^{\circ}$。
$\angle AOB = 90^{\circ}$，$OA = OB$，所以$\angle OAB=\angle OBA = 45^{\circ}$。
则$\angle EAC=\angle OAC-\angle OAB=75^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ}$。
因为$\angle AOC = 30^{\circ}$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，所以$AC = CD$，$\angle AEC=\angle EAC+\angle AOC=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}$。
所以$\angle AEC=\angle OCA$，根据等角对等边，可得$AE = AC$，所以$AE = CD$。
### $(2)$ 求$AE$的长
过点$A$作$AH\perp OC$于点$H$。
已知$\odot O$半径$r = OA=4$，在$Rt\triangle AOH$中，$\angle AOH = 30^{\circ}$。
根据直角三角形中$30^{\circ}$所对直角边是斜边的一半，可得$AH=\frac{1}{2}OA = 2$。
再根据勾股定理$OH=\sqrt{OA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}$。
因为$\angle OAB = 45^{\circ}$，$\angle AOH = 30^{\circ}$，$\angle AEC = 75^{\circ}$，$\angle OCA = 75^{\circ}$，所以$AE = AC$。
又因为$AC = 2AH = 4$（等腰三角形三线合一，$AH\perp OC$，$\angle AOC = 30^{\circ}$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$）。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{4}$

6. 如图，$BC$ 是半圆 $O$ 的直径，$P$ 是半圆的中点，$A$ 是 $\overset{\frown}{BP}$ 的中点，$AD \perp BC$ 于点 $D$，连接 $AB$，$PB$，$AC$，$BP$ 分别与 $AD$，$AC$ 相交于点 $E$，$F$。
(1) 求证：$AE = BE$。
(2) 判断 $BE$ 与 $EF$ 的长度是否相等，并说明理由。
(3) 小明通过测量猜想：$CF = 2AB$。请问这个猜想是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出 $CF$ 与 $AB$ 之间正确的数量关系。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$AE = BE$
连接$AP$，因为$BC$是半圆$O$的直径，$P$是半圆的中点，所以$\angle BPC = 90^{\circ}$，$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{PC}$，则$\angle PBC=\angle PCB = 45^{\circ}$。
又因为$A$是$\overset{\frown}{BP}$的中点，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AP}$，那么$\angle ABP=\angle APB$。
因为$AD\perp BC$，$\angle ABC+\angle BAD = 90^{\circ}$，$\angle ABC+\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD=\angle ACB$。
而$\angle ACB=\angle APB$（同弧所对的圆周角相等），所以$\angle ABP=\angle BAD$，根据等角对等边，可得$AE = BE$。
### $(2)$ 判断$BE$与$EF$的长度关系
因为$\angle ABP = 22.5^{\circ}$，$\angle BAF=\angle BAD+\angle DAC$，$\angle BAD = 22.5^{\circ}$，$\angle DAC=\angle DBC = 22.5^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等），所以$\angle BAF = 45^{\circ}$。
在$\triangle ABE$中，$\angle AEB=180^{\circ}-\angle ABE - \angle BAE=135^{\circ}$，则$\angle AEF = 45^{\circ}$。
在$\triangle AEF$中，$\angle EAF = 45^{\circ}$，$\angle AEF = 45^{\circ}$，所以$\angle AFE = 90^{\circ}$，$\triangle AEF$是等腰直角三角形，$AE = EF$。
又因为$AE = BE$，所以$BE = EF$。
### $(3)$ 判断$CF = 2AB$是否正确
连接$AP$，$CP$，因为$A$是$\overset{\frown}{BP}$中点，$P$是半圆中点，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AP}$，$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{PC}$，$AB = AP$，$BP = CP$。
$\angle BPC = 90^{\circ}$，$\angle PBC=\angle PCB = 45^{\circ}$，$\angle ABP = 22.5^{\circ}$，$\angle FBC = 22.5^{\circ}$。
在$\triangle ABF$和$\triangle CBF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BAF=\angle BCF = 45^{\circ}\\\angle ABF=\angle CBF = 22.5^{\circ}\\BF = BF\end{array}\right.$，所以$\triangle ABF\cong\triangle CBF(AAS)$，则$CF = AF$。
$\triangle ABF$中，$\angle BAF = 45^{\circ}$，$\angle ABF = 22.5^{\circ}$，$\angle AFB = 112.5^{\circ}$，$\triangle AEF$是等腰直角三角形，$AF=\sqrt{2}AE$，又$AE = BE$，$AB=\sqrt{2}BE$，所以$CF=\sqrt{2}AB$，故小明的猜想不正确。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析，证得$AE = BE$；
$(2)$ $BE = EF$，理由如上述解析；
$(3)$ 小明的猜想**不正确**，$CF$与$AB$之间正确的数量关系是$CF=\boldsymbol{\sqrt{2}AB}$。