《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$.若$∠A=80^{\circ }$，则$∠C$的度数为（B）

A.$80^{\circ }$
B.$100^{\circ }$
C.$110^{\circ }$
D.$120^{\circ }$

答案： B

2.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，E为BC延长线上的一点.若$∠A=70^{\circ }$，则$∠DCE=$（C）

A.$110^{\circ }$
B.$120^{\circ }$
C.$70^{\circ }$
D.$60^{\circ }$

答案： C

如图，$∠DCE$是$\odot O$的内接四边形ABCD的一个外角.若$∠DCE=82^{\circ }$，则$∠BOD$的度数为（B）
A.$160^{\circ }$
B.$164^{\circ }$
C.$162^{\circ }$
D.$170^{\circ }$

答案： B

3.（2025·芜湖无为期中）四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$∠C=3∠A$，则$∠C=$135$^{\circ }$.

答案： $135$

4.（2024·滨州）如图，四边形ABCD内接于$\odot O$.若四边形OABC是菱形，则$∠D=$60$^{\circ }$.

答案： $60$

5.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AB为$\odot O$的直径.
（1）若$∠ABD=20^{\circ }$，则$∠BCD=$$110^{\circ}$；
（2）若D为$\overset{\frown }{AC}$的中点，$∠ADC=130^{\circ }$，则$∠A=$$65^{\circ}$.

答案： （1）$110^{\circ}$；
（2）$65^{\circ}$。

6.如图，正方形ABCD的四个顶点均在$\odot O$上，P是$\overset{\frown }{CD}$上不同于点C，D的任意一点，则$∠DPC$的度数为$45^{\circ}$.

答案： $45^{\circ}$

7.如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$\overset{\frown }{BD}=\overset{\frown }{AD}$.求证：CD平分$∠ACE$.

答案： 【解析】：
因为四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，所以$\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$。
又因为$\angle BCD+\angle DCE=180^{\circ}$，根据等角的补角相等，可得$\angle BAD=\angle DCE$。
因为$\overset{\frown }{BD}=\overset{\frown }{AD}$，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，所以$\angle BAD=\angle ACD$。
所以$\angle ACD=\angle DCE$，即$CD$平分$\angle ACE$。
【答案】：
$\because$四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，$\therefore\angle BAD + \angle BCD=180^{\circ}$。
$\because\angle BCD+\angle DCE = 180^{\circ}$，$\therefore\angle BAD=\angle DCE$。
$\because\overset{\frown }{BD}=\overset{\frown }{AD}$，$\therefore\angle BAD=\angle ACD$。
$\therefore\angle ACD=\angle DCE$，即$CD$平分$\angle ACE$。

8.如图，已知A，B，C，D，E是$\odot O$上的五个点，圆心O在AD上，$∠BCD=110^{\circ }$，求$∠AEB$的度数.

答案： 【解析】：
连接$AB$。
因为$A$，$B$，$C$，$D$四点共圆，根据圆内接四边形对角互补，可得$\angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ}$。
已知$\angle BCD = 110^{\circ}$，所以$\angle BAD = 180^{\circ}-\angle BCD = 180^{\circ}- 110^{\circ}=70^{\circ}$。
因为圆心$O$在$AD$上，所以$AD$是$\odot O$的直径，那么$\angle ABD = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ADB = 90^{\circ}-\angle BAD = 90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
又因为同弧所对的圆周角相等，$\angle AEB$与$\angle ADB$都是弧$AB$所对的圆周角，所以$\angle AEB=\angle ADB = 20^{\circ}$。
【答案】：$20^{\circ}$