《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

9.（2025·宿州埇桥区月考）方程$2x^{2}-5x-1=0$的根的情况是（C）
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法判断根的情况

答案： C

10. 若关于$x$的一元二次方程$kx^{2}-2x+3=0$有两个实数根，则$k$的取值范围是（D）
A. $k＜\frac {1}{3}$
B. $k≤\frac {1}{3}$
C. $k＜\frac {1}{3}$且$k≠0$
D. $k≤\frac {1}{3}$且$k≠0$

答案： D

11. 关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2ax+a^{2}-1=0$的根的情况是（C）
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 实数根的个数与实数$a$的取值有关

答案： C

12. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-8x+m=0$的两根为$x_{1},x_{2}$，且$x_{1}=3x_{2}$，则$m$的值为（C）
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16

答案： C

13. 已知$x_{1},x_{2}$是方程$2x^{2}+kx-2=0$的两个实数根，且$(x_{1}-2)(x_{2}-2)=10$，则$k$的值为7.

答案： $7$

14. 已知$a,b$是方程$x^{2}+3x-4=0$的两根，则$a^{2}+4a+b-3=$-2.

答案： $-2$

15. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x+3-k=0$有两个不等的实数根.
（1）求$k$的取值范围；
（2）若方程的两个根为$\alpha ,\beta $，且$k^{2}=\alpha \beta +3k$，求$k$的值.

答案： 【解析】：
（1）对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，当$\Delta\gt0$时，方程有两个不等的实数根。
在方程$x^{2}+2x + 3 - k = 0$中，$a = 1$，$b = 2$，$c = 3 - k$，因为方程有两个不等的实数根，所以$\Delta=2^{2}-4\times1\times(3 - k)\gt0$。
先计算$2^{2}-4\times1\times(3 - k)$：
$\begin{aligned}2^{2}-4\times1\times(3 - k)&=4-4\times(3 - k)\\&=4-(12 - 4k)\\&=4 - 12 + 4k\\&=4k - 8\end{aligned}$
则$4k - 8\gt0$，移项可得$4k\gt8$，两边同时除以$4$，解得$k\gt2$。
（2）根据韦达定理，在一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$中，若方程的两根为$x_1$和$x_2$，则$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
对于方程$x^{2}+2x + 3 - k = 0$，$a = 1$，$c = 3 - k$，因为方程的两个根为$\alpha$，$\beta$，所以$\alpha\beta=\frac{3 - k}{1}=3 - k$。
已知$k^{2}=\alpha\beta + 3k$，把$\alpha\beta = 3 - k$代入可得$k^{2}=3 - k + 3k$，即$k^{2}-2k - 3 = 0$。
对于一元二次方程$k^{2}-2k - 3 = 0$，分解因式可得$(k - 3)(k + 1)=0$，则$k - 3 = 0$或$k + 1 = 0$，解得$k_1 = 3$，$k_2 = - 1$。
又因为由（1）知$k\gt2$，所以$k = - 1$不符合条件，舍去，故$k = 3$。
【答案】：（1）$k\gt2$；（2）$k = 3$

16.（2025·芜湖期中）今年“十一”长假，某湿地公园迎来旅游高峰，第一天的游客人数为0.8万，第三天的游客人数为3.2万.假设每天游客增加的百分率相同且设为$x$，则根据题意可列方程为（B）
A. $3.2(1+x)^{2}=0.8$
B. $0.8(1+x)^{2}=3.2$
C. $0.8(1-x)^{2}=3.2$
D. $0.8+0.8(1+x)+0.8(1+x)^{2}=3.2$

答案： B