《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

6. 某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜,计划以每千克60元的价格销售.为了让顾客得到实惠,现决定降价销售,已知这种菠萝蜜的销售量y(千克)与每千克降价x(元)($0＜x＜20$)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)当每千克菠萝蜜降价4元时,超市获利多少元?
(3)若超市想获利2400元,且让顾客获得更大实惠,这种菠萝蜜每千克应降价多少元?

答案： 【解析】：
### $(1)$求$y$与$x$之间的函数解析式
设$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b(k\neq0)$。
已知函数图象过点$(2,100)$，$(5,160)$，将这两点代入$y = kx + b$中，可得方程组$\begin{cases}2k + b = 100\\5k + b = 160\end{cases}$。
用$5k + b = 160$减去$2k + b = 100$，可得：
$\begin{aligned}(5k + b)-(2k + b)&=160 - 100\\5k + b - 2k - b&= 60\\3k&=60\\k&=20\end{aligned}$
把$k = 20$代入$2k + b = 100$，得$2\times20 + b = 100$，即$40 + b = 100$，解得$b = 60$。
所以$y$与$x$之间的函数解析式为$y = 20x + 60$。
### $(2)$计算当每千克菠萝蜜降价$4$元时超市的获利
当$x = 4$时，代入$y = 20x + 60$，可得$y = 20\times4 + 60=80 + 60 = 140$（千克）。
每千克的利润为$(60 - 40 - x)$元，当$x = 4$时，每千克利润为$60 - 40 - 4=16$（元）。
则获利为$140\times16 = 2240$（元）。
### $(3)$计算超市想获利$2400$元时菠萝蜜每千克应降价的金额
根据总利润$=$每千克利润$\times$销售量，可得$(60 - 40 - x)(20x + 60)=2400$。
化简方程：
$\begin{aligned}(20 - x)(20x + 60)&=2400\\400x+1200-20x^{2}-60x&=2400\\-20x^{2}+340x + 1200 - 2400&=0\\-20x^{2}+340x - 1200&=0\\x^{2}-17x + 60&=0\end{aligned}$
分解因式得$(x - 5)(x - 12)=0$，则$x - 5 = 0$或$x - 12 = 0$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=12$。
因为要让顾客获得更大实惠，所以比较$5$和$12$的大小，$12\gt5$，故$x = 12$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{y = 20x + 60}$；
$(2)$$\boldsymbol{2240}$；
$(3)$$\boldsymbol{12}$。

7. (2024·合肥寿春中学月考)岳西县被誉为“中国高山茭白之乡”,该县某村今年种植12万千克的茭白,计划全部在A市和B市销售.若在A市销售,平均每千克茭白的利润为2元;若在B市销售,平均每千克茭白的利润y(元)与销售量x(万千克)之间的关系满足$y=-0.2x+4.2$.
(1)若在A市销售茭白2万千克,则销售完这批茭白共获利多少万元?
(2)若该村销售完所有茭白共获利28.8万元,求在B市销售茭白多少万千克.
(3)若在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同,且$m≠n$,求m与n之间满足的关系式.

答案： 【解析】：
(1)
已知在$A$市销售茭白$2$万千克，因为这批茭白共$12$万千克，则在$B$市销售的茭白为$12 - 2=10$万千克。
在$A$市销售，平均每千克茭白的利润为$2$元，则在$A$市获利$2\times2 = 4$万元。
在$B$市销售，平均每千克茭白的利润$y$与销售量$x$之间的关系满足$y=-0.2x + 4.2$，当$x = 10$时，$y=-0.2\times10 + 4.2=2.2$元。
那么在$B$市获利$10\times2.2 = 22$万元。
所以销售完这批茭白共获利$4 + 22=26$万元。
(2)
设在$B$市销售茭白$x$万千克，则在$A$市销售$(12 - x)$万千克。
在$A$市获利$2(12 - x)$万元，在$B$市，每千克利润$y=-0.2x + 4.2$，则在$B$市获利$x(-0.2x + 4.2)$万元。
已知销售完所有茭白共获利$28.8$万元，可列方程：
$2(12 - x)+x(-0.2x + 4.2)=28.8$
展开括号得：$24-2x-0.2x^{2}+4.2x = 28.8$
移项化为一元二次方程的一般形式：$-0.2x^{2}+2.2x - 4.8 = 0$
两边同时乘以$-5$得：$x^{2}-11x + 24 = 0$
分解因式得$(x - 3)(x - 8)=0$
则$x - 3 = 0$或$x - 8 = 0$
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=8$
所以在$B$市销售茭白$3$万千克或$8$万千克。
(3)
在$B$市销售茭白$m$万千克时，每千克利润$y_{1}=-0.2m + 4.2$，则总利润$W_{1}=m(-0.2m + 4.2)=-0.2m^{2}+4.2m$。
在$B$市销售茭白$n$万千克时，每千克利润$y_{2}=-0.2n + 4.2$，则总利润$W_{2}=n(-0.2n + 4.2)=-0.2n^{2}+4.2n$。
因为$W_{1}=W_{2}$，所以$-0.2m^{2}+4.2m=-0.2n^{2}+4.2n$
移项得：$-0.2m^{2}+4.2m + 0.2n^{2}-4.2n = 0$
整理得：$0.2(n^{2}-m^{2})+4.2(m - n)=0$
利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，则$0.2(n + m)(n - m)+4.2(m - n)=0$
因为$m\neq n$，所以$m - n\neq0$，方程两边同时除以$(m - n)$得：
$-0.2(m + n)+4.2 = 0$
$-0.2m-0.2n+4.2 = 0$
$m + n = 21$
【答案】：
(1)$26$；
(2)$3$或$8$；
(3)$m + n = 21$