《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1.已知二次函数$y=ax^{2}+bx+1$的图象经过点$(1,1)$和$(2,3)$，则这个二次函数的解析式为（C）
A.$y=x^{2}+x+1$
B.$y=-x^{2}+x+1$
C.$y=x^{2}-x+1$
D.$y=-x^{2}-x+1$

答案： C

2.(教材P40练习T1变式)已知一个二次函数，当$x=0$时，$y=-5$；当$x=-1$时，$y=-4$；当$x=2$时，$y=5$，则这个二次函数的解析式是（D）
A.$y=2x^{2}-x-5$
B.$y=2x^{2}+x+5$
C.$y=2x^{2}-x+5$
D.$y=2x^{2}+x-5$

答案： D

3.已知一个二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（B）

A.$y=x^{2}-2x+3$
B.$y=x^{2}-2x-3$
C.$y=x^{2}+2x-3$
D.$y=x^{2}+2x+3$

答案： B

4.二次函数$y=ax^{2}+bx+c$中的$x$，$y$的部分对应值如下表：
| $x$ | $\cdots$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\cdots$ |
| $y$ | $\cdots$ | $-7$ | $-5$ | $-1$ | $m$ | $\cdots$ |
(1)求该二次函数的解析式；
(2)求表中$m$的值.

答案： 【解析】：
(1)设二次函数的解析式为$y = ax^{2}+bx + c$，把$(-1,-7)$，$(0,-5)$，$(1,-1)$分别代入解析式可得：
$\begin{cases}a - b + c=-7\\c = - 5\\a + b + c=-1\end{cases}$
将$c = - 5$代入$a - b + c=-7$和$a + b + c=-1$中，得到$\begin{cases}a - b-5=-7\\a + b-5=-1\end{cases}$，即$\begin{cases}a - b=-2&(A)\\a + b = 4&(B)\end{cases}$
$(A)+(B)$得：$2a=2$，解得$a = 1$。
把$a = 1$代入$(A)$式得：$1 - b=-2$，解得$b = 3$。
所以二次函数的解析式为$y=x^{2}+3x - 5$。
(2)因为二次函数的解析式为$y=x^{2}+3x - 5$，当$x = 2$时，$m=y=2^{2}+3\times2 - 5=4 + 6 - 5=5$。
【答案】：
(1)$y=x^{2}+3x - 5$；
(2)$5$

5.顶点为$(6,0)$、开口向下、形状与函数$y=\frac{1}{3}x^{2}$的图象相同的抛物线所对应的函数解析式是（D）
A.$y=\frac{1}{3}(x+6)^{2}$
B.$y=\frac{1}{3}(x-6)^{2}$
C.$y=-\frac{1}{3}(x+6)^{2}$
D.$y=-\frac{1}{3}(x-6)^{2}$

答案： D

6.一个二次函数图象的顶点为$(3,-1)$，与$y$轴的交点为$(0,-4)$，则这个二次函数的解析式为（B）
A.$y=\frac{1}{3}x^{2}-2x+4$
B.$y=-\frac{1}{3}x^{2}+2x-4$
C.$y=-\frac{1}{3}(x+3)^{2}-1$
D.$y=-x^{2}+6x-12$

答案： B

[变式]已知一个二次函数有最大值4.当$x＞5$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜5$时，$y$随$x$的增大而增大.若该函数图象经过点$(2,1)$，则该函数的解析式为$y =-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{10}{3}x-\frac{13}{3}$.

答案： $y =-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{10}{3}x-\frac{13}{3}$

7.(2024·安庆宿松期末)已知二次函数的图象顶点坐标为$(-2,-2)$，且过点$(1,0)$.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当$-5\leqslant x＜4$时，求$y$的取值范围.

答案： 【解析】：
(1)已知二次函数的顶点坐标为$(-2,-2)$，可设二次函数的顶点式为$y = a(x + 2)^{2}-2$（$a\neq0$）。
因为函数图象过点$(1,0)$，把$x = 1$，$y = 0$代入$y = a(x + 2)^{2}-2$中，可得：
$0=a(1 + 2)^{2}-2$，即$0 = 9a-2$，
移项可得$9a=2$，解得$a=\frac{2}{9}$。
所以该二次函数的解析式为$y=\frac{2}{9}(x + 2)^{2}-2=\frac{2}{9}(x^{2}+4x + 4)-2=\frac{2}{9}x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}-2=\frac{2}{9}x^{2}+\frac{8}{9}x-\frac{10}{9}$。
(2)对于二次函数$y=\frac{2}{9}(x + 2)^{2}-2$，其二次项系数$a = \frac{2}{9}\gt0$，所以抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
当$x=-2$时，$y$有最小值$y=-2$。
接下来求$x=-5$和$x = 4$时$y$的值：
当$x=-5$时，$y=\frac{2}{9}(-5 + 2)^{2}-2=\frac{2}{9}\times9-2=2 - 2=0$；
当$x = 4$时，$y=\frac{2}{9}(4 + 2)^{2}-2=\frac{2}{9}\times36-2=8 - 2=6$。
因为$x\lt4$，所以当$-5\leqslant x＜4$时，$-2\leqslant y\lt6$。
【答案】：
(1)$y=\frac{2}{9}(x + 2)^{2}-2$（或$y=\frac{2}{9}x^{2}+\frac{8}{9}x-\frac{10}{9}$）；
(2)$-2\leqslant y\lt6$