《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

9.如图,A,B,C,D是$\odot O$上的点,$∠1=∠2$.有下列结论:①$\widehat {AB}=\widehat {CD}$;②$\widehat {BD}=\widehat {AC}$;③$AC=BD$;④$∠BOD=∠AOC$.其中正确的有(D)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： D

10.如图,A,B是$\odot O$上的点,$∠AOB=120^{\circ }$,C是$\widehat {AB}$的中点.若$\odot O$的半径为2,则四边形ACBO的面积为$2\sqrt{3}$.

答案： $2\sqrt{3}$

11.如图,AB为$\odot O$的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F,且$\widehat {AC}=\widehat {BD}$.
(1)求证:$AE=BF$;
(2)作半径$ON⊥AB$于点M,若$AB=12,MN=3$,求OM的长.

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$AE = BF$
连接$OA$、$OB$。
因为$OA = OB$，所以$\angle OAB=\angle OBA$。
又因为$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，所以$\angle AOC=\angle BOD$。
在$\triangle OAE$和$\triangle OBF$中：
$\begin{cases}\angle OAE=\angle OBF\\OA = OB\\\angle AOE=\angle BOF\end{cases}$
根据“$ASA$”（角边角）定理，可得$\triangle OAE\cong\triangle OBF$。
所以$AE = BF$。
### $(2)$ 求$OM$的长
设$OM = x$，因为$ON\perp AB$，根据垂径定理，$AM=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB = 12$，则$AM = 6$。
又因为$ON = OM + MN$，$MN = 3$，所以$ON=x + 3$。
在$Rt\triangle OAM$中，根据勾股定理$OA^{2}=OM^{2}+AM^{2}$，且$OA = ON$，则有：
$(x + 3)^{2}=x^{2}+6^{2}$
展开得$x^{2}+6x + 9=x^{2}+36$。
移项可得$6x=36 - 9$，即$6x = 27$。
解得$x=\frac{9}{2}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$

12.(教材P85练习T1变式)根据我们所学习的“弧、弦、圆心角之间的关系”,我们可以得到圆心角、弧、弦、弦心距(弦心距指圆心到弦的距离,如图1中的$OC,OC'$,弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度)之间的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所
对应的其余各组量也分别相等.请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题:
如图2,O是$∠EPF$的平分线上的一点,以点O为圆心的圆与角的两边所在的直线分别交于点A,B,C,D.
(1)求证:$AB=CD$.
(2)若$∠EPF$的顶点P在圆上或圆内,(1)中的结论仍成立吗? 若不成立,请说明理由;若成立,请加以证明.

答案： 【解析】：
(1)过点$O$作$OM\perp AB$于点$M$，$ON\perp CD$于点$N$。
因为$PO$平分$\angle EPF$，$OM\perp AB$，$ON\perp CD$，根据角平分线的性质可得$OM = ON$。
由圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系可知，在同圆中，弦心距相等，则弦相等，所以$AB = CD$。
(2)若$\angle EPF$的顶点$P$在圆上或圆内，
(1)中的结论仍成立。
**当$P$在圆上时**：
过点$O$作$OM\perp AB$于点$M$，$ON\perp CD$于点$N$。
因为$PO$平分$\angle EPF$，$OM\perp AB$，$ON\perp CD$，所以$OM = ON$。
根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在同圆中弦心距相等则弦相等，所以$AB = CD$。
**当$P$在圆内时**：
过点$O$作$OM\perp AB$于点$M$，$ON\perp CD$于点$N$。
因为$PO$平分$\angle EPF$，$OM\perp AB$，$ON\perp CD$，所以$OM = ON$。
由圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系可得，在同圆中弦心距相等则弦相等，所以$AB = CD$。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析。
(2) 若$\angle EPF$的顶点$P$在圆上或圆内，
(1)中的结论仍成立，证明过程如上述解析。

13.如图,MN是$\odot O$的直径,A是半圆上的一个三等分点,B是$\widehat {AN}$的中点,P是直径MN上的一动点.若$MN=2\sqrt {2}$,则$PA+PB$的最小值为2.

答案： $2$