《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

5.(2025·合肥月考)如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方的点A处发出，把球看成点，其高度y(单位:m)与运动的水平距离x(单位:m)满足关系式$y=-\frac {1}{40}(x-6)^{2}+h$，已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m.若该排球运动员在练习发球的过程中，球要超过球网但不能出界(可以压线)，则h的取值范围是$2.655\lt h\leqslant3.6$.

答案： $2.655\lt h\leqslant3.6$

6.在一次足球训练中，小明从球门正前方8m的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门OB的高为2.44m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素);
(2)对本次足球训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则小明应该带球向正后方移动多少米射门，才能使足球经过点O正上方2.25m处?

答案： 【解析】：
### $(1)$求抛物线的函数解析式并判断球能否射进球门
已知抛物线的顶点坐标为$(2,3)$，设抛物线的函数解析式为$y = a(x - 2)^{2}+3$。
因为抛物线过点$A(8,0)$，把$x = 8$，$y = 0$代入$y = a(x - 2)^{2}+3$中，可得：
$0=a(8 - 2)^{2}+3$
$0 = 36a+3$
$36a=-3$
解得$a=-\frac{1}{12}$。
所以抛物线的函数解析式为$y = -\frac{1}{12}(x - 2)^{2}+3$，即$y = -\frac{1}{12}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}$。
当$x = 0$时，$y = -\frac{1}{12}\times0^{2}+\frac{1}{3}\times0+\frac{8}{3}=\frac{8}{3}\approx2.67$（$m$）。
因为$2.67\gt2.44$，所以球能射进球门。
### $(2)$求小明应该带球向正后方移动的距离
设小明应该带球向正后方移动$m$米射门，则抛物线过点$(0,2.25)$，此时抛物线的顶点坐标为$(m + 2,3)$，抛物线的函数解析式为$y = -\frac{1}{12}(x-(m + 2))^{2}+3$。
把$(0,2.25)$代入$y = -\frac{1}{12}(x-(m + 2))^{2}+3$中，可得：
$2.25 = -\frac{1}{12}(0-(m + 2))^{2}+3$
$-\frac{1}{12}(m + 2)^{2}=2.25 - 3$
$-\frac{1}{12}(m + 2)^{2}=-0.75$
$(m + 2)^{2}=9$
$m + 2=\pm3$。
解得$m_{1}=1$，$m_{2}=-5$（舍去）。
【答案】：
$(1)$抛物线的函数解析式为$\boldsymbol{y = -\frac{1}{12}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}}$，球**能**射进球门；
$(2)$小明应该带球向正后方移动$\boldsymbol{1}$米射门。

7.【新情境·生活情境】(2024·安徽模拟)某悬索桥的示意图如图1所示，其两座桥塔间的主索的形状近似于抛物线，桥塔与锚锭间的主索形状近似于直线，相邻吊索间的距离均为2米，桥塔和吊索均与水平桥面垂直.如图2，已知桥塔AD和BC的高度均为10米，水平桥长AB为32米，桥塔间的主索最低点P距桥面2米，锚锭E，F到桥塔AD，BC的距离均为16米，E，A，B，F四点共线，以CD所在直线为x轴，CD的垂直平分线为y轴(恰好经过点P)，建立平面直角坐标系xOy.
(1)求该抛物线对应的函数解析式;
(2)为了满足桥梁的使用安全性，长度不小于4米的吊索需要使用密度更高、抗风性能更好的新型吊索，求这座悬索桥所需新型吊索的数量;
(3)对桥梁进行维护检修时，发现需要在桥塔AD左右两侧的主索上各加一条竖直钢索进行加固，要求桥塔AD左右两侧用来加固的竖直钢索相距8米，则至少需要准备竖直钢索多少米?

答案： 【解析】：
### $(1)$求抛物线对应的函数解析式
已知抛物线的顶点为$P(0,2)$，设抛物线对应的函数解析式为$y = ax^{2}+2$。
因为$AB = 32$米，相邻吊索间的距离均为$2$米，所以$C$点坐标为$(16,10)$（$C$点到$y$轴距离为$\frac{32}{2}=16$，$C$点纵坐标为桥塔高度$10$）。
把$C(16,10)$代入$y = ax^{2}+2$得：
$10=a\times16^{2}+2$，即$256a=10 - 2$，$256a = 8$，解得$a=\frac{8}{256}=\frac{1}{32}$。
所以抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{1}{32}x^{2}+2$。
### $(2)$求新型吊索的数量
设吊索长度为$L$，当$L\geq4$时，$\frac{1}{32}x^{2}+2\geq4$，即$\frac{1}{32}x^{2}\geq2$，$x^{2}\geq64$，解得$x\geq8$或$x\leq - 8$。
因为相邻吊索间的距离均为$2$米，$x = 8$时是一条吊索，$x = 10$，$x = 12$，$x = 14$，$x = 16$（$C$点），根据对称性，$x=-8$，$x = - 10$，$x = - 12$，$x = - 14$，$x=-16$（$D$点）。
$(16 - 8)\div2+1=5$（一侧的数量），两侧共$5\times2=10$条，再加上桥塔$AD$和$BC$（$AD = BC=10\geq4$），所以新型吊索数量为$10 + 2=12$条。
### $(3)$求竖直钢索的长度
设桥塔$AD$左侧钢索横坐标为$x_{1}$，右侧钢索横坐标为$x_{2}$，$\vert x_{2}-x_{1}\vert = 8$，且$x_{1}＜0$，$x_{2}＞0$，$x_{2}=-x_{1}+8$（不妨设$x_{2}＞x_{1}$）。
两条钢索长度之和$L=\left(\frac{1}{32}x_{1}^{2}+2\right)+\left(\frac{1}{32}x_{2}^{2}+2\right)=\frac{1}{32}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}) + 4$，把$x_{2}=-x_{1}+8$代入得：
$L=\frac{1}{32}[x_{1}^{2}+(-x_{1}+8)^{2}]+4=\frac{1}{32}(x_{1}^{2}+x_{1}^{2}-16x_{1}+64)+4=\frac{1}{32}(2x_{1}^{2}-16x_{1}+64)+4=\frac{1}{16}(x_{1}^{2}-8x_{1}+32)+4=\frac{1}{16}(x_{1}^{2}-8x_{1}+16 + 16)+4=\frac{1}{16}[(x_{1}-4)^{2}+16]+4$。
因为$x_{1}＜0$，当$x_{1}=0$时（$x_{1}$在取值范围内靠近对称轴$x = 4$的边界值），$L=\frac{1}{16}(0 - 0+32)+4=2 + 4=6$；当$x_{1}=- 8$时，$x_{2}=0$，$L=\frac{1}{32}(64 + 0)+4=2 + 4=6$。
【答案】：
$(1)$ $y=\boldsymbol{\frac{1}{32}x^{2}+2}$；
$(2)$ $\boldsymbol{12}$条；
$(3)$ $\boldsymbol{6}$米 。