《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

4. 如图，$\triangle ABC$为等边三角形，以$AB$为边向外作$\triangle ABD$，使$\angle ADB = 120^{\circ}$，再以点$C$为旋转中心把$\triangle CBD$旋转到$\triangle CAE$，则给出下列结论：①$D$，$A$，$E$三点共线；②$DC$平分$\angle BDA$；③$\angle E = \angle BAC$；④$DC = DB + DA$。其中正确的是①②③④。(填序号)

答案： ①②③④

5. 如图，已知$\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$，$AD = DC$。求证：$BC + AB = \sqrt{2}BD$。

答案： 【解析】：
过点$D$作$DE\perp AB$交$BA$的延长线于点$E$，作$DF\perp BC$于点$F$。
因为$\angle ABC=\angle ADC = 90^{\circ}$，四边形内角和为$360^{\circ}$，所以$\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}$，又$\angle BAD+\angle EAD = 180^{\circ}$，则$\angle EAD=\angle BCD$。
因为$AD = DC$，$\angle E=\angle DFC = 90^{\circ}$，所以$\triangle ADE\cong\triangle CDF(AAS)$。
所以$DE=DF$，$AE = CF$。
又因为$\angle E=\angle ABC=\angle DFB = 90^{\circ}$，所以四边形$DEBF$是正方形，$BE=BF = BD\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}BD$，$BD=\sqrt{2}BE$。
$BC + AB=(BF + FC)+(BE - AE)$，把$AE = CF$代入可得$BC + AB=BF + BE$，因为$BE = BF$，所以$BC + AB = 2BE$，又$BD=\sqrt{2}BE$，所以$BC + AB=\sqrt{2}BD$。
【答案】：
过点$D$作$DE\perp AB$交$BA$的延长线于点$E$，作$DF\perp BC$于点$F$。
$\because\angle ABC=\angle ADC = 90^{\circ}$，四边形内角和为$360^{\circ}$，
$\therefore\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}$，
又$\because\angle BAD+\angle EAD = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle EAD=\angle BCD$。
$\because AD = DC$，$\angle E=\angle DFC = 90^{\circ}$，
$\therefore\triangle ADE\cong\triangle CDF(AAS)$。
$\therefore DE=DF$，$AE = CF$。
$\because\angle E=\angle ABC=\angle DFB = 90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$DEBF$是正方形，$BE=BF = BD\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}BD$，$BD=\sqrt{2}BE$。
$BC + AB=(BF + FC)+(BE - AE)$，
把$AE = CF$代入得$BC + AB=BF + BE$，
$\because BE = BF$，
$\therefore BC + AB = 2BE$，
又$\because BD=\sqrt{2}BE$，
$\therefore BC + AB=\sqrt{2}BD$。

6. 若四边形$ABCD$满足$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$，则我们称该四边形为“对角互补四边形”。
(1) 如图 1，四边形$ABCD$为“对角互补四边形”，且满足$\angle BAD = 90^{\circ}$，$AB = AD$，求$\angle ACB$的度数；
(2) 如图 2，四边形$ABCD$为“对角互补四边形”，且满足$\angle BAD = 60^{\circ}$，$AB = AD$，试猜想线段$CA$，$CB$，$CD$之间的数量关系，并证明。

答案： 【解析】：
### $(1)$求$\angle ACB$的度数
因为四边形$ABCD$为“对角互补四边形”，所以$\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$。
已知$\angle BAD = 90^{\circ}$，则$\angle BCD=180^{\circ}-\angle BAD = 90^{\circ}$。
又因为$AB = AD$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，将$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ADE$。
则$\angle CAE = 90^{\circ}$，$AC = AE$，$\angle ADE=\angle ABC$。
因为$\angle BCD+\angle BAD = 180^{\circ}$，所以$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$，那么$\angle ADE+\angle ADC = 180^{\circ}$，即$C$，$D$，$E$共线。
所以$\triangle ACE$是等腰直角三角形，$\angle ACE = 45^{\circ}$，即$\angle ACB = 45^{\circ}$。
### $(2)$猜想并证明线段$CA$，$CB$，$CD$之间的数量关系
**猜想**：$CA=CB + CD$。
**证明**：延长$CD$到$E$，使$DE = BC$，连接$AE$。
因为四边形$ABCD$为“对角互补四边形”，所以$\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$，$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$。
又因为$\angle ADE+\angle ADC = 180^{\circ}$，所以$\angle ABC=\angle ADE$。
已知$AB = AD$，在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\begin{cases}AB = AD\\\angle ABC=\angle ADE\\BC = DE\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABC\cong\triangle ADE$。
所以$AC = AE$，$\angle BAC=\angle DAE$。
因为$\angle BAD = 60^{\circ}$，所以$\angle CAE=\angle CAD+\angle DAE=\angle CAD+\angle BAC=\angle BAD = 60^{\circ}$。
所以$\triangle ACE$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），则$CA = CE$。
又因为$CE=CD + DE$，$DE = BC$，所以$CA=CB + CD$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{45^{\circ}}$；
$(2)$$\boldsymbol{CA = CB + CD}$ 。