《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

8.阅读下面的解题过程:
解方程:$2x^{2}+8x-18=0.$
解:移项,得$2x^{2}+8x=18$.①
二次项系数化为1,得$x^{2}+4x=9$.②
配方,得$x^{2}+4x+4=9$,③
即$(x+2)^{2}=9.$
$\therefore x+2=\pm 3$.④
$\therefore x_{1}=-5,x_{2}=1$.⑤
上述解题过程从步骤③(填序号)开始出错,原因是配方时，方程两边应同时加上一次项系数一半的平方，而原答案右边没有加4.
请写出正确的解题过程.
正确的解题过程如下：
移项，得$2x^{2}+8x=18$。
二次项系数化为1，得$x^{2}+4x=9$。
配方，得$x^{2}+4x+4=9+4$，即$(x+2)^{2}=13$。
$\therefore x+2=\pm\sqrt{13}$。
$\therefore x_{1}=-2+\sqrt{13}$，$x_{2}=-2-\sqrt{13}$。

答案： 【解析】：本题可根据配方法解一元二次方程的步骤来分析解题过程中存在的错误。
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。
在使用配方法解一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$时，首先要将二次项系数化为$1$，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方。
在原解题过程的步骤③中，方程$x^{2}+4x = 9$的左边加上了$4$，根据等式的性质，等式两边需要同时加上相同的数，等式才成立，所以方程右边也应该加上$4$，而原答案右边没有加$4$，这就导致等式不成立，所以从步骤③开始出错。
下面我们来写出正确的解题过程：
- **步骤一：移项**
将常数项移到等号右边，得到$2x^{2}+8x = 18$。
- **步骤二：二次项系数化为$1$**
方程两边同时除以$2$，得到$x^{2}+4x = 9$。
- **步骤三：配方**
在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数是$4$，一半的平方为$(\frac{4}{2})^2 = 4$，则方程变为$x^{2}+4x + 4 = 9 + 4$，即$(x + 2)^{2} = 13$。
- **步骤四：求解方程**
对$(x + 2)^{2} = 13$两边同时开平方，得到$x + 2 = \pm\sqrt{13}$，移项可得$x_{1} = -2 + \sqrt{13}$，$x_{2} = -2 - \sqrt{13}$。
【答案】：③；配方时，方程两边应同时加上一次项系数一半的平方，而原答案右边没有加$4$；正确的解题过程如下：
移项，得$2x^{2}+8x = 18$。
二次项系数化为$1$，得$x^{2}+4x = 9$。
配方，得$x^{2}+4x + 4 = 9 + 4$，即$(x + 2)^{2} = 13$。
$\therefore x + 2 = \pm\sqrt{13}$。
$\therefore x_{1} = -2 + \sqrt{13}$，$x_{2} = -2 - \sqrt{13}$。

9.用配方法解一元二次方程$-3x^{2}+12x-2=0$时,将它化为$(x+a)^{2}=b$的形式,则$a+b$的值为 (D)
A.$\frac {14}{3}$
B.$\frac {10}{3}$
C.$\frac {16}{3}$
D.$\frac {4}{3}$

答案： D

10.(2024·安庆潜山期末)已知方程$x^{2}-6x+4=□$,等号右侧的数字印刷不清楚.若可以将该方程配方成$(x-p)^{2}=7$的形式,则印刷不清楚的数字是 (C)
A.6
B.9
C.2
D.-2

答案： C

11.用配方法解下列方程:
(1)$(x-1)(x-2)=12;$
(2)$(2t-1)^{2}=t(3t+2)-7.$

答案： 【解析】：
(1)
首先将方程$(x - 1)(x - 2)=12$展开：
$x^{2}-2x - x + 2 = 12$，
即$x^{2}-3x+2 - 12 = 0$，
$x^{2}-3x - 10 = 0$。
移项得$x^{2}-3x = 10$。
配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，一次项系数是$-3$，一半的平方为$(\frac{-3}{2})^{2}=\frac{9}{4}$，
$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$，
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b=\frac{3}{2}$，则$(x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{40 + 9}{4}=\frac{49}{4}$。
开平方得$x-\frac{3}{2}=\pm\frac{7}{2}$。
当$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$时，$x=\frac{7}{2}+\frac{3}{2}=5$；
当$x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$时，$x=-\frac{7}{2}+\frac{3}{2}=-2$。
(2)
先将方程$(2t - 1)^{2}=t(3t + 2)-7$展开：
$4t^{2}-4t + 1 = 3t^{2}+2t-7$。
移项得$4t^{2}-3t^{2}-4t - 2t+1 + 7 = 0$，
合并同类项得$t^{2}-6t + 8 = 0$。
移项得$t^{2}-6t=-8$。
配方：一次项系数是$-6$，一半的平方为$(\frac{-6}{2})^{2}=9$，
在等式两边加上$9$，$t^{2}-6t + 9=-8 + 9$，
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = t$，$b = 3$，则$(t - 3)^{2}=1$。
开平方得$t - 3=\pm1$。
当$t - 3 = 1$时，$t=1 + 3=4$；
当$t - 3=-1$时，$t=-1 + 3=2$。
【答案】：
(1)$x_{1}=5$，$x_{2}=-2$；
(2)$t_{1}=4$，$t_{2}=2$

12.阅读下面的例题,按要求解答问题:
例题:求代数式$y^{2}+4y+8$的最小值.
解:$y^{2}+4y+8=y^{2}+4y+4+4=(y+2)^{2}+4.$
$\because (y+2)^{2}≥0,\therefore (y+2)^{2}+4≥4,$
$\therefore y^{2}+4y+8$的最小值是4.
(1)求代数式$m^{2}+m+4$的最小值.
(2)求代数式$4-x^{2}+2x$的最大值.
(3)如图,某小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上建一个矩形花园ABCD,花园一边靠墙,另三边用总长为20m的栅栏围成.设$AB=xm$,问当x取何值时,花园的面积最大?最大面积是多少?

答案： 【解析】：
(1)
$\begin{aligned}m^{2}+m + 4&=m^{2}+m+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+4\\&=(m+\frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}\end{aligned}$
因为$(m + \frac{1}{2})^{2}\geq0$，所以$(m+\frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}\geq\frac{15}{4}$，则$m^{2}+m + 4$的最小值是$\frac{15}{4}$。
(2)
$\begin{aligned}4-x^{2}+2x&=-x^{2}+2x + 4\\&=-(x^{2}-2x)+4\\&=-(x^{2}-2x + 1 - 1)+4\\&=-((x - 1)^{2}-1)+4\\&=-(x - 1)^{2}+1 + 4\\&=-(x - 1)^{2}+5\end{aligned}$
因为$(x - 1)^{2}\geq0$，所以$-(x - 1)^{2}\leq0$，$-(x - 1)^{2}+5\leq5$，则$4-x^{2}+2x$的最大值是$5$。
(3)已知$AB = xm$，因为栅栏总长为$20m$，所以$BC=(20 - 2x)m$，花园面积$S = AB\times BC=x(20 - 2x)$
$\begin{aligned}S&=x(20 - 2x)\\&=-2x^{2}+20x\\&=-2(x^{2}-10x)\\&=-2(x^{2}-10x + 25 - 25)\\&=-2((x - 5)^{2}-25)\\&=-2(x - 5)^{2}+50\end{aligned}$
因为墙长$15m$，所以$0\lt20 - 2x\leq15$，解$20 - 2x\gt0$得$x\lt10$，解$20 - 2x\leq15$得$x\geq\frac{5}{2}$。
又因为$-2\lt0$，所以当$x = 5$时，$S$有最大值$50$。
【答案】：
(1)$\frac{15}{4}$
(2)$5$
(3)当$x = 5$时，花园面积最大，最大面积是$50m^{2}$