《2025年一本九年级数学上册人教版安徽专版》

1.如图，A，B是$\odot O$上的两点，AC是过点A的一条直线.如果$∠AOB=120^{\circ }$，那么当$∠CAB=$60$^{\circ }$时，AC才能成为$\odot O$的切线.

答案： $60$

2.如图，在$\triangle ABC$中，以AC为直径的$\odot O$交AB于点D，连接CD，$∠BCD=∠A$.求证：BC是$\odot O$的切线.

答案： 【解析】：
- 因为$AC$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$。
- 那么在$\triangle ADC$中，$\angle A+\angle ACD = 90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余）。
- 又因为$\angle BCD=\angle A$（已知条件），将$\angle A$替换为$\angle BCD$，则$\angle BCD+\angle ACD = 90^{\circ}$。
- 而$\angle BCD+\angle ACD=\angle ACB$，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$，即$AC\perp BC$。
- 因为$AC$是$\odot O$的直径，$BC$经过$\odot O$的半径$OC$的外端点$C$，且$AC\perp BC$，根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，所以$BC$是$\odot O$的切线。
【答案】：
因为$AC$是$\odot O$直径，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle A+\angle ACD = 90^{\circ}$，又$\angle BCD=\angle A$，所以$\angle BCD+\angle ACD = 90^{\circ}$，即$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC\perp BC$，$AC$是直径，所以$BC$是$\odot O$的切线。

3.(教材P98例1变式)如图，D是$∠AOB$的平分线OC上的任意一点，过点D作$DE⊥OB$于点E，以DE的长为半径作$\odot D$.求证：OA是$\odot D$的切线.

答案： 【解析】：过点$D$作$DF\perp OA$于点$F$。
因为$OC$是$\angle AOB$的平分线，$DE\perp OB$，$DF\perp OA$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DF = DE$。
又因为$\odot D$的半径为$DE$，所以$DF$等于$\odot D$的半径。
因为$DF\perp OA$，根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，所以$OA$是$\odot D$的切线。
【答案】：过点$D$作$DF\perp OA$于点$F$，由角平分线性质得$DF = DE$（$DE$为$\odot D$半径），再由切线判定定理得$OA$是$\odot D$的切线。

4.如图，AB是$\odot O$的直径，BC是$\odot O$的切线.若$∠BAC=35^{\circ }$，则$∠ACB$的度数为 （C）
A.$35^{\circ }$ B.$45^{\circ }$ C.$55^{\circ }$ D.$65^{\circ }$

答案： C；

[变式](2024·山西)如图，已知$\triangle ABC$，以AB为直径的$\odot O$交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD.若$∠AOD=80^{\circ }$，则$∠C=$（ ）
A.$30^{\circ }$ B.$40^{\circ }$ C.$45^{\circ }$ D.$50^{\circ }$

答案： D

5.如图，AB为$\odot O$的直径，直线CD与$\odot O$相切于点C，连接AC.若$∠ACD=50^{\circ }$，则$∠BAC$的度数为 （B）

A.$30^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$60^{\circ }$

答案： B

6.(2024·徐州)如图，AB是$\odot O$的直径，点C在AB的延长线上，CD与$\odot O$相切于点D.若$∠C=20^{\circ }$，则$∠CAD=$35$^{\circ }$.

答案： $35$

7.如图，AB为$\odot O$的直径，延长AB至点C，使$AC=3BC$，过点C作$\odot O$的切线CD，切点为D.若$\odot O$的半径为2，则线段CD的长为$2\sqrt{3}$.

答案： $2\sqrt{3}$