《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

1. (2024·恩施期中)如图,在△ABC中,AC＞BC,将△ABC绕点C旋转得到△DEC,使得点B的对应点E落在直线AB上(点E不与点B重合).尺规作图:作出△DEC(不写作法,保留作图痕迹).

答案：
如图，$\triangle DEC$ 即为所求。

2. (2024·厦门月考)如图所示,△ABO和△CDO关于点O中心对称.
(1)请用尺规作图作出点D,连接AD,CD;
(2)求证:AD= BC.

答案：

(1) 如图，点 $D$ 即为所求作，连接 $AD$，$CD$。
(2) $\because \triangle ABO$ 和 $\triangle CDO$ 关于点 $O$ 中心对称，$\therefore OA = OC$，$OD = OB$，$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AD = BC$。

3. (2024·厦门模拟)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE,点B的对应点为D,点C的对应点为E.
(1)作出旋转后的图形(尺规作图,保留作图痕迹);
(2)连接CE,若∠ACB= 120°,请判断直线BC是否经过点E,并说明理由.

答案：

(1) 如图，先分别以点 $A$，$C$ 为圆心，线段 $AC$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $E$，再以点 $E$ 为圆心，$BC$ 为半径画弧，以点 $A$ 为圆心，$AB$ 为半径画弧，两弧交于点 $D$，连接 $DE$，$AE$，$AD$，则 $\triangle ADE$ 即为所求。
(2) 直线 $BC$ 经过点 $E$。如图，连接 $CE$，根据作图可知 $AC = AE = CE$，$\therefore \triangle ACE$ 为等边三角形，$\therefore \angle ACE = 60^{\circ}$。$\because \angle ACB = 120^{\circ}$，$\therefore \angle BCE = \angle ACE + \angle ACB = 180^{\circ}$，$\therefore$ 点 $B$，$C$，$E$ 在一条直线上，$\therefore$ 直线 $BC$ 经过点 $E$。

4. (2024·平凉期末)作出旋转变换后的图象:将图中的△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到△A'B'C'.

答案：
如图，$\triangle A'B'C'$ 即为所求。

5. (2024·南昌期中)如图,点A,B,C是格点,请用无刻度的直尺按要求在网格中作图,并标明字母.
(1)作四边形ABDC,使四边形ABDC为中心对称图形,且D为格点;
(2)以AC为边作四边形ACMN,使四边形ACMN既是中心对称图形,又是轴对称图形,且M,N均为格点.

答案：

(1) 如图，四边形 $ABDC$ 即为所求。

(2) 如图，四边形 $ACMN$ 即为所求。(合理即可)

6. (2024·云南期末)如图,边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中,边AB在x轴正半轴上,顶点F在y轴正半轴上,将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转,每次旋转60°,那么经过第2025次旋转后,顶点D的坐标为( )

A. $(-\frac{3}{2},-\sqrt{3})$
B. $(\frac{3}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2})$
C. $(-\sqrt{3},\sqrt{3})$
D. $(-\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$

答案：
A 解析：如图，连接 $AD$，$BD$，在正六边形 $ABCDEF$ 中，$AB = 1$，$\angle BAD = 60^{\circ}$，$\angle ABD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ADB = 30^{\circ}$，$\therefore AD = 2$，$\therefore BD = \sqrt{AD^{2} - AB^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$。在 $Rt\triangle AOF$ 中，$AF = 1$，$\angle OAF = 60^{\circ}$，$\therefore \angle OFA = 30^{\circ}$，$\therefore OA = \frac{1}{2}AF = \frac{1}{2}$，$\therefore OB = OA + AB = \frac{3}{2}$，$\therefore$ 点 $D(\frac{3}{2}, \sqrt{3})$。$\because$ 将正六边形 $ABCDEF$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转，每次旋转 $60^{\circ}$，$\therefore 6$ 次一个循环。$\because 2025 \div 6 = 337\cdots\cdots3$，$\therefore$ 经过第 $2025$ 次循环后，顶点 $D$ 的坐标与第三次旋转得到的 $D_{3}$ 的坐标相同。$\because$ 点 $D$ 与 $D_{3}$ 关于原点对称，$\therefore D_{3}(-\frac{3}{2}, -\sqrt{3})$，$\therefore$ 经过第 $2025$ 次旋转后，顶点 $D$ 的坐标为 $(-\frac{3}{2}, -\sqrt{3})$。

7. (2024·台州月考)如图,在平面直角坐标系中,等边△AOB顶点A的坐标为(-2,0),将△AOB绕点O顺时针方向旋转60°,同时边扩大为原来的2倍,得到$△A_1OB_1,$再将$△A_1OB_1$作相同变换得到$△A_2OB_2……$依次类推,则点$A_2₀_2_5$的坐标为______$(2^{2026}, 0)$.

答案： $(2^{2026}, 0)$ 解析：$\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(-2, 0)$，$\therefore OA = 2$。$\because$ 每次旋转角度为 $60^{\circ}$，$\therefore 6$ 次旋转 $360^{\circ}$。$\because 2025 = 6 \times 337 + 3$，点 $A_{3}$ 位于 $x$ 轴的正半轴上，$\therefore$ 第 $2025$ 次旋转后，点 $A_{2025}$ 位于 $x$ 轴的正半轴上，由题意可知，第 $1$ 次旋转后，$OA_{1} = 2 \times 2 = 2^{2}$，第 $2$ 次旋转后，$OA_{2} = 2 \times 2^{2} = 2^{3}$，第 $3$ 次旋转后，$OA_{3} = 2 \times 2^{3} = 2^{4}$，归纳类推得第 $n$ 次旋转后，$OA_{n} = 2^{n + 1}$（$n$ 为正整数），$\therefore$ 第 $2025$ 次旋转后，$OA_{2025} = 2^{2026}$，$\therefore$ 点 $A_{2025}$ 的坐标为 $(2^{2026}, 0)$。