《2025年学霸题中题九年级数学上册人教版》

10. (潍坊中考)抛物线$y= x^{2}+bx+3$的对称轴为直线$x= 1$.若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+bx+3-t= 0$($t$为实数)在$-1＜x＜4$的范围内有实数根,则$t$的取值范围是(A)
A. $2≤t＜11$
B. $t≥2$
C. $6＜t＜11$
D. $2≤t＜6$

答案： A

11. 抛物线$y= ax^{2}+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)$两点,则关于$x的一元二次方程a(x-1)^{2}+c= b-bx$的解是$x_1 = - 2$，$x_2 = 5$.

答案： $x_1 = - 2$，$x_2 = 5$

12. (荆州中考)规定：两个函数$y_{1},y_{2}的图象关于y$轴对称,则称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数$y_{1}= 2x+2与y_{2}= -2x+2的图象关于y$轴对称,则这两个函数互为“Y函数”.若函数$y= kx^{2}+2(k-1)x+k-3(k$为常数)的“Y函数”图象与$x$轴只有一个交点,则其“Y函数”的解析式为$y = 2x - 3$ 或 $y = - x^2 + 4x - 4$.

答案： $y = 2x - 3$ 或 $y = - x^2 + 4x - 4$

13. (遵义中考)如图,抛物线$y= a(x-2)^{2}+3(a为常数且a≠0)与y轴交于点A(0,\frac{5}{3})$.
(1)求该抛物线的解析式；
该抛物线的解析式为$y = - \frac { 1 } { 3 } ( x - 2 ) ^ { 2 } + 3$
(2)若直线$y= kx+\frac{2}{3}(k≠0)$与抛物线有两个交点,交点的横坐标分别为$x_{1},x_{2}$,当$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 10$时,求$k$的值；
$k$的值为2 或 $\frac { 2 } { 3 }$
(3)当$-4＜x≤m$时,$y有最大值\frac{4m}{3}$,求$m$的值.
$m$的值为$- \sqrt { 5 }$ 或 $\frac { 9 } { 4 }$

答案：
(1) $ \because $ 抛物线 $ y = a ( x - 2 ) ^ { 2 } + 3 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A \left( 0 , \frac { 5 } { 3 } \right) $，$ \therefore 4 a + 3 = \frac { 5 } { 3 } $，$ \therefore a = - \frac { 1 } { 3 } $，$ \therefore y = - \frac { 1 } { 3 } ( x - 2 ) ^ { 2 } + 3 $。
(2) $ \because $ 直线 $ y = k x + \frac { 2 } { 3 } ( k \neq 0 ) $ 与抛物线有两个交点，$ \therefore k x + \frac { 2 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } ( x - 2 ) ^ { 2 } + 3 $，整理得 $ x ^ { 2 } + ( 3 k - 4 ) x - 3 = 0 $，$ \therefore \Delta = ( 3 k - 4 ) ^ { 2 } + 12 ＞ 0 $，$ \therefore x _ { 1 } + x _ { 2 } = 4 - 3 k $，$ x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } = - 3 $，$ \therefore x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } = ( 4 - 3 k ) ^ { 2 } + 6 = 10 $，$ \therefore k = \frac { 2 } { 3 } $ 或 $ k = 2 $，$ \therefore k $ 的值为 2 或 $ \frac { 2 } { 3 } $。
(3) $ \because $ 抛物线的对称轴为直线 $ x = 2 $，当 $ m ＜ 2 $，$ x = m $ 时，$ y $ 有最大值，$ \frac { 4 m } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } \times ( m - 2 ) ^ { 2 } + 3 $，解得 $ m = \pm \sqrt { 5 } $，$ \therefore m = - \sqrt { 5 } $。当 $ m \geq 2 $，$ x = 2 $ 时，$ y $ 有最大值，$ \therefore \frac { 4 m } { 3 } = 3 $，$ \therefore m = \frac { 9 } { 4 } $。综上所述，$ m $ 的值为 $ - \sqrt { 5 } $ 或 $ \frac { 9 } { 4 } $。

14. (河南中考)某数学小组对函数$y= x^{2}-2|x|$的图象和性质进行了探究.
(1)自变量$x$的取值范围是全体实数,$x与y$的几组对应值列表如下,其中,$m= $____.
| $x$ | … | -3 | $-\frac{5}{2}$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | $\frac{5}{2}$ | 3 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | 3 | $\frac{5}{4}$ | $m$ | -1 | 0 | -1 | 0 | $\frac{5}{4}$ | 3 | … |
(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.

(3)观察函数图象,写出两条函数的性质.
______
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与$x$轴有____个交点,所以对应的方程$x^{2}-2|x|= 0$有____个实数根；
②方程$x^{2}-2|x|= 2$有____个实数根；
③关于$x的方程x^{2}-2|x|= a$有4个实数根时,$a$的取值范围是____.

答案：

(1) 0
(2) 如图所示。

(3) ① 函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 | x | $ 的图象关于 $ y $ 轴对称。
② 当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。（答案不唯一）
(4) ① 3 3
② 2
③ $ - 1 ＜ a ＜ 0 $

15. (永州中考改编)若函数$y= ax^{2}-2x+3的图象在直线x= 1的右侧与x$轴有且只有一个交点,求$a$的取值范围.

答案：
当 $ x = 0 $ 时，$ y = a x ^ { 2 } - 2 x + 3 = 3 $，$ \therefore y = a x ^ { 2 } - 2 x + 3 $ 的图象必经过点 $ ( 0,3 ) $，下面对 $ a $ 的值及图象与 $ x $ 轴交点个数进行分类讨论：当 $ a ＜ 0 $，抛物线与 $ x $ 轴有两个交点时，如图①，$ \left\{ \begin{array} { l } { a ＜ 0 , } \\ { \Delta = ( - 2 ) ^ { 2 } - 12 a ＞ 0 , } \\ { a - 2 + 3 ＞ 0 , } \end{array} \right. $ 即 $ \left\{ \begin{array} { l } { a ＜ 0 , } \\ { a ＜ \frac { 1 } { 3 } , } \\ { a ＞ - 1 , } \end{array} \right. $ $ \therefore - 1 ＜ a ＜ 0 $；当 $ a ＞ 0 $，抛物线与 $ x $ 轴有两个交点时，如图②，$ \left\{ \begin{array} { l } { a ＞ 0 , } \\ { \Delta = ( - 2 ) ^ { 2 } - 12 a ＞ 0 , } \\ { a - 2 + 3 ＜ 0 , } \end{array} \right. $ 即 $ \left\{ \begin{array} { l } { a ＞ 0 , } \\ { a ＜ \frac { 1 } { 3 } , } \\ { a ＜ - 1 , } \end{array} \right. $ $ \therefore a $ 的值不存在；当抛物线与 $ x $ 轴只有一个交点时，如图③，$ \left\{ \begin{array} { l } { \Delta = ( - 2 ) ^ { 2 } - 12 a = 0 , } \\ { a ＞ 0 , } \\ { - \frac { - 2 } { 2 a } ＞ 1 , } \end{array} \right. $ 即 $ \left\{ \begin{array} { l } { a = \frac { 1 } { 3 } , } \\ { a ＞ 0 , } \\ { a ＜ 1 , } \end{array} \right. $ $ \therefore a $ 的值为 $ \frac { 1 } { 3 } $；如图④，当 $ a = 0 $ 时，函数解析式为 $ y = - 2 x + 3 $，函数与 $ x $ 轴的交点为 $ \left( \frac { 3 } { 2 } , 0 \right) $，$ \therefore a = 0 $ 成立。




综上所述，$ a $ 的取值范围为 $ - 1 ＜ a \leq 0 $ 或 $ a = \frac { 1 } { 3 } $。